sin の無限乗積展開とワイエルシュトラスの因数分解定理

$\displaystyle P_m = \prod_{n=M}^{m} a_n$ が $\alpha$ に収束するものとする。このとき $$\begin{aligned} \lim_{m \to \infty} a_m &= \lim_{m \to \infty} \dfrac{P_m}{P_{m-1}}\\ &= \dfrac{\alpha}{\alpha}\\ &=1 \end{aligned}$$ である。

収束性

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{z^2}{n^2}$ は一様収束するため $\displaystyle \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1- \dfrac{z^2}{n^2} \right)$ も一様収束する。

等式を示す

$\displaystyle f(z) = \dfrac{\pi z}{\sin \pi z} \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1- \dfrac{z^2}{n^2} \right)$ が $1$ であることを示す。

$$\begin{aligned} &\dfrac{d}{dz} \log f(z)\\ &= \dfrac{1}{z} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \dfrac{1}{n+z} - \dfrac{1}{n-z} \right) - \pi \dfrac{\cos \pi z}{\sin \pi z}\\ &= \left( \dfrac{1}{z} + \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{2z}{z^2 - n^2} \right) - \pi \dfrac{\cos \pi z}{\sin \pi z} \end{aligned}$$ である。

三角関数の部分分数分解 で紹介した通り $$\pi \cot \pi z = \dfrac{1}{z} + \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{2z}{z^2 - n^2}$$ である。よって $\dfrac{d}{dz} \log f(z) = 0$ である。

ゆえに $\log f(z)$ は定数である。ゆえに $f(z) = C$（$C$ は定数）となる。

ここで $$\begin{aligned} &\lim_{z \to 0} f(z)\\ &= \lim_{z \to 0} \dfrac{\pi z}{\sin \pi z} \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1- \dfrac{z^2}{n^2} \right)\\ &= 1 \end{aligned}$$

よって $f(z) = 1$ である。

マクローリン展開により $|z| \leqq 1$ で $$\sin \pi z = \pi z - \dfrac{\pi^3}{3!} z^3 + \dfrac{\pi^5}{5!}z^5 - \cdots$$ と表される。特に $z^3$ の係数は $- \dfrac{\pi^3}{6}$ である。

一方，$\displaystyle \pi z \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1-\dfrac{z^2}{n^2} \right)$ の $z^3$ の係数は $$-\pi \left( \dfrac{1}{1^2} + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2} + \cdots \right)$$ である。

上記2つを比較することで $$\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2} = \dfrac{\pi^2}{6}$$ を得る。

$$\sin \pi z = \pi z \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1- \dfrac{z^2}{n^2} \right)$$ の両辺に $z=\dfrac{1}{2}$ を代入すると， $$\begin{aligned} 1 &= \sin \dfrac{\pi}{2}\\ &= \dfrac{\pi}{2} \left( 1-\dfrac{1}{2^2} \right) \left( 1-\dfrac{1}{4^2} \right) \left( 1-\dfrac{1}{ 6^2} \right) \cdots\\ &= \dfrac{\pi}{2} \dfrac{1\cdot 3}{2^2} \dfrac{3\cdot 5}{4^2} \dfrac{5\cdot 7}{6^2} \cdots \end{aligned}$$ となる。

こうして公式を得る。

$\sin \pi z$ の零点は $z = n$（$n \in \mathbb{Z}$）で零点の位数は $1$ です。

ワイエルシュトラスの因数分解定理より，ある零点を持たない整関数 $g(z)$ を用いて $$\sin \pi z = e^{g(z)} z \prod_{n \in \mathbb{Z} , n \neq 0} \left( 1-\dfrac{z}{n} \right) e^{\frac{z}{n}}$$ と表される。

$$\left( 1-\dfrac{z}{n} \right) e^{\frac{z}{n}} \left( 1-\dfrac{z}{-n} \right) e^{\frac{z}{-n}} = 1 - \dfrac{z^2}{n^2}$$ であるため， $$\sin \pi z = e^{g(z)} z \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1- \dfrac{z^2}{n^2} \right)$$ である。

以下は $e^{g(z)}$ を最初の証明のときの $f(z)$ として計算すればよい。