リュウビルの定理と代数学の基本定理

$n$ 次関数 $$f(z) = z^n + a_1 z^{n-1} + \cdots + a_n$$ が零点を持たないと仮定する。$f$ は多項式であるため整関数である。$g(z) = \dfrac{1}{f(z)}$ とすると，$f$ は零点を持たないため，$g$ は整関数となる。一方，$g(z)$ は有界である。

実際，次のように示される。

• ステップ1：$|z|$ が十分に大きい範囲
  三角不等式より得られる不等式 $|\alpha + \beta|\geqq |\alpha| - |\beta|$ を繰り返し用いると， $$|g(z)| \leqq \dfrac{1}{|z|^n \left(1 - \dfrac{|a_1|}{|z|} - \cdots - \dfrac{|a_n|}{|z|^n} \right)}$$ となり， $$\lim_{|z| \to \infty} \dfrac{1}{|z|^n \left(1 - \dfrac{|a_1|}{|z|} - \cdots - \dfrac{|a_n|}{|z|^n} \right)} = 0$$ から $\displaystyle \lim_{|z| \to \infty} |g(z)| = 0$ となる。
  イプシロンデルタ論法 から十分大きい正の実数 $R_0$ を取ると，$|z| > R_0$ ならば，$|g(z)| < \varepsilon$ である。

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• ステップ2：$|z|$ が小さい範囲
  $|z| \leqq R_0$ は有界であるため，$f(z)$ は $|z| \leqq R_0$ で有界となる。$f(z)$ は零点を持たないため，$0 < |f(z)| < +\infty$ である。よって $|g(z)| = \dfrac{1}{|f(z)|}$ は有界である。

よって $g(z)$ は $\mathbb{C}$ 全体で正則かつ有界なので，Liouville の定理より定数となる。このとき $f(z)$ もまた定数関数となるが，これは $f$ が $n$ 次である仮定に反する。

コーシーの積分公式 から，$0 < r < R$ なる任意の $r$ に対して $$f^{(n)} (z) = \dfrac{n!}{2\pi i} \oint_{\partial \Delta (a,r)} \dfrac{f(\zeta)}{(z-\zeta)^{n+1}} d\zeta$$ である。

有界性より $$\begin{aligned} |f^{(n)} (z)| &= \left| \dfrac{n!}{2\pi i} \oint_{\partial \Delta (a,r)} \dfrac{f(\zeta)}{(z-\zeta)^{n+1}} d\zeta \right|\\ &\leqq \dfrac{n!}{2\pi} \oint_{\partial \Delta (a,r)} \dfrac{|f(\zeta)|}{|z-\zeta|^{n+1}} |d\zeta|\\ &\leqq \dfrac{n!}{2\pi} \oint_{\partial \Delta (a,r)} \dfrac{M}{|z-\zeta|^{n+1}} |d\zeta| \end{aligned}$$ である。$\zeta = a + re^{i\theta}$ と変数変換することで $$f^{(n)} (z) \leqq \dfrac{n!}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \dfrac{M}{r^{n+1}} r d\theta = \dfrac{n! M}{r^n}$$ を得る。よって，$f^{(n)}(z)\leqq\dfrac{n!M}{R^n}$（もしこれが不成立なら，$R$ に十分近い $r$ に対しても $f^{(n)}(z)>\dfrac{n!M}{r^n}$なので矛盾）

これにより $$|c_n| = \dfrac{|f^{(n)} (z)|}{n!} \leqq \dfrac{M}{R^n}$$ を得る。

$f$ は整関数，すなわちの複素平面上で正則な関数である。よって，$f$ の原点を中心とし，複素平面上全体で収束するローラン展開（テイラー展開） $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} c_n z^n$ を得る。

$f$ は複素平面全体で正則であるため，コーシーの係数評価より任意の実数 $R$ に対して $$|c_n| \leqq \dfrac{M}{R}$$ となる。$R \to \infty$ とすることで $|c_n| \to 0$ を得る。よって級数展開は $f(z) = c_0$ となり，定数関数であることが従う。