ポリアの壺にまつわる確率とその証明
壺(つぼ)に赤玉が 個,白球が 個入っている。その中から玉を1つ無作為に取り出し,選んだ玉を壺に戻した上で選んだ玉と同じ色の玉を1つ壺に加える。
この試行を 回繰り返す。 回目に赤玉が選ばれる確率は
確率の有名問題です。ポリアの壺に関連する問題は,京大など難関大でときどき出題されています。
が に依存しないというのがおもしろいです。
ポリアの壺の意味
ポリアの壺の意味
ポリアの壺では,1回ごとに玉が1つずつ増えていきます。例えば で1回目に赤玉を選ぶと,2回目の試行の際には壺に赤玉が2個,白玉が1個あることになります。
玉を選ぶタイプの問題の多くは,
1:「選んだ玉は元に戻さない」
2:「選んだ玉を元に戻す」
のいずれかの条件の元で考えますが,
3:「選んだ玉を戻してさらに同じ色を追加する」という奇妙な条件を課した確率モデルをポリアの壺と言います。
1では「過去に選んだ色は選びにくくなる」
2では「過去何を選んだか,未来の試行には関係ない」
3では「過去で選んだ色はよりいっそう選びやすくなる」
このように並べてみると,ポリアの壺という確率モデルを考えるのも有用な気がしてきます。
ポリアの壺の確率の証明
ポリアの壺の確率の証明
冒頭の主張: を証明します。
「漸化式を立てる→帰納法」という方針です。 のときを考えるときに「 回+ 回」と考えてもうまくいきません。「 回+ 回」と考えるとうまくいきます。これは くらいまで実験すれば気づきやすいでしょう。
のときは自明。
のときに と仮定する。
以下 回目に赤玉が出る確率 を求める。
・1回目に赤玉が出る場合
その確率は である。 個の赤玉と 個の白玉となり残り 回の試行をするので, 回目に赤玉が出る確率は
・1回目に白玉が出る場合
その確率は である。 個の赤玉と 個の白玉となり残り 回の試行をするので, 回目に赤玉が出る確率は
よって,以上2つを足し合わせると,
が分かり,帰納法により証明完了。
ポリアの壺の一般化
ポリアの壺の一般化
-
ポリアの壺の一般化1:
上記では毎回加える玉が1個でしたが,選んだ玉と同じ色の玉を 一気に 個加えることにします。つまり, 回試行すると 個玉が増殖します。 -
ポリアの壺の一般化2:
上記では赤玉と白玉の2種類でしたが,玉の色が 種類の場合を考えます。最初壺には色 の玉が 個入っているとします 。
これら2つの一般化を行ったときでも,さきほどと同様な美しい性質が証明できます:
回目の試行で色 が選ばれる確率は
にも にも依存しないです!
とすると冒頭で述べた確率 と一致します。
証明はさきほどとほとんど同様で,漸化式+帰納法でできます,練習問題にどうぞ!
ポリアは数学者の名前です。壺(つぼ)と聞くとドラゴンクエストを思い出します。