ポリアの壺にまつわる確率とその証明

更新日時 2021/03/07

ポリアの壺

壺（つぼ）に赤玉が $a$ 個，白球が $b$ 個入っている。その中から玉を1つ無作為に取り出し，選んだ玉を壺に戻した上で選んだ玉と同じ色の玉を1つ壺に加える。

この試行を $n$ 回繰り返す。 $n$ 回目に赤玉が選ばれる確率は $p_n=\dfrac{a}{a+b}$

確率の有名問題です。ポリアの壺に関連する問題は，京大など難関大でときどき出題されています。

$p_n$ が $n$ に依存しないというのがおもしろいです。

ポリアの壺の意味
ポリアの壺の確率の証明
ポリアの壺の一般化

ポリアの壺の意味ポリアの壺では，1回ごとに玉が1つずつ増えていきます。例えば
a=1, b=1a=1,\:b=1a=1,b=1
 で1回目に赤玉を選ぶと，2回目の試行の際には壺に赤玉が2個，白玉が1個あることになります。
玉を選ぶタイプの問題の多くは，
1：「選んだ玉は元に戻さない」
2：「選んだ玉を元に戻す」
のいずれかの条件の元で考えますが，
3：「選んだ玉を戻して更に同じ色を追加する」という奇妙な条件を課した確率モデルをポリアの壺と言います。
1では「過去に選んだ色は選びにくくなる」
2では「過去何を選んだか，未来の試行には関係ない」
3では「過去で選んだ色はよりいっそう選びやすくなる」
このように並べてみると，ポリアの壺という確率モデルを考えるのも有用な気がしてきます。

ポリアの壺の確率の証明

冒頭の主張： $p_n=\dfrac{a}{a+b}$ を証明します。

方針

「漸化式を立てる→帰納法」という方針です。 $k+1$ のときを考えるときに「 $k$ 回＋ $1$ 回」と考えてもうまくいきません。「 $1$ 回＋ $k$ 回」と考えるとうまくいきます。これは $n=1, 2, 3$ くらいまで実験すれば気づきやすいでしょう。

証明

$n=1$ のときは自明。

$n=k$ のときに $p_k=\dfrac{a}{a+b}$ と仮定する。

以下 $k+1$ 回目に赤玉が出る確率 $p_{k+1}$ を求める。

・1回目に赤玉が出る場合

その確率は $\dfrac{a}{a+b}$ である。 $a+1$ 個の赤玉と $b$ 個の白玉となり残り $k$ 回の試行をするので， $k+1$ 回目に赤玉が出る確率は $\dfrac{a}{a+b}\times \dfrac{a+1}{a+1+b}$

・1回目に白玉が出る場合

その確率は $\dfrac{b}{a+b}$ である。 $a$ 個の赤玉と $b+1$ 個の白玉となり残り $k$ 回の試行をするので， $k+1$ 回目に赤玉が出る確率は $\dfrac{b}{a+b}\times \dfrac{a}{a+1+b}$

よって，以上2つを足し合わせると，

$p_{k+1}=\dfrac{a}{a+b}$ が分かり，帰納法により証明完了。

ポリアの壺の一般化

ポリアの壺の一般化1：
上記では毎回加える玉が1個でしたが，選んだ玉と同じ色の玉を一気に $m$ 個加えることにします。つまり， $n$ 回試行すると $nm$ 個玉が増殖します。
ポリアの壺の一般化2：
上記では赤玉と白玉の2種類でしたが，玉の色が $c$ 種類の場合を考えます。最初壺には色 $i$ の玉が $a_i$ 個入っているとします $(i=1, 2,\cdots c)$ 。

これら2つの一般化を行ったときでも，さきほどと同様な美しい性質が証明できます：

ポリアの壺の一般化バージョン

$n$ 回目の試行で色 $i$ が選ばれる確率は

$p_n(i)=\dfrac{a_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^ca_i}$

$n$ にも $m$ にも依存しないです！

$c=2,\:a_1=a,\:a_2=b$ とすると冒頭で述べた確率 $\dfrac{a}{a+b}$ と一致します。

証明はさきほどとほとんど同様で，漸化式＋帰納法でできます，練習問題にどうぞ！

ポリアは数学者の名前です。壺（つぼ）と聞くとドラゴンクエストを思い出します。

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