円に外接する四角形とその性質

円に外接する四角形

円に外接する四角形とは「4つの辺すべてが同じ円に接する」四角形です。

円に外接する四角形

円に外接する四角形についての性質を整理しました。

円に外接する四角形と接線の長さ

まずは,円に外接する四角形の性質というより,円と接線に関する一般的な性質です。

定理1

頂点から2つの接点までの距離は等しい。つまり,

  • AP=ASAP=AS
  • BP=BQBP=BQ
  • CQ=CRCQ=CR
  • DR=DSDR=DS

円に外接する四角形の性質

定理1の証明

円外の点 AA から引いた2本の接線の接点を P,QP,Q とするとき AP=AQAP=AQ を示せばよい。 接線の長さ

円の中心を OO とする。

  • 円の半径より OP=OQOP=OQ
  • 接線より APO=AQO=90\angle APO=\angle AQO=90^{\circ}
  • AOAO は共通の辺

よって,直角三角形で斜辺と他の1辺が等しいので三角形 APOAPOAQOAQO は合同。よって AP=AQAP=AQ

円に外接する四角形と対辺の長さの和

次は最も重要な性質です。入試でも頻出です。

定理2

円に外接する四角形 ABCDABCD について, AB+CD=AD+BCAB+CD=AD+BC が成立する。

導出方法も重要なので覚えておきましょう。

定理2の証明

図のように 44 つの接点を P,Q,R,SP,Q,R,S とおく。

円に外接する四角形の性質

AA から円に引いた二本の接線の長さは等しい(定理1)ので,AP=AS,BP=BQ,CR=CQ,DR=DSAP=AS, BP=BQ, CR=CQ, DR=DS

以上 44 つの式を足し合わせると,

AP+BP+CR+DR=BQ+CQ+AS+DSAP+BP+CR+DR=BQ+CQ+AS+DS

よって,

AB+CD=BC+ADAB+CD=BC+AD

四角形が円に外接する条件

実は定理1の逆も成立します。

定理3

凸な(へこんでいない)四角形 ABCDABCDAB+CD=AD+BCAB+CD=AD+BC を満たせば,その四角形はある円に外接する。

  • 例えば,(正方形でない)長方形は上式を満たさないので「円に外接する四角形」ではありません。

  • 一方,ひし型は上式を満たすので「円に外接する四角形」です。

円に外接する四角形の例

円に外接する四角形の面積

定理4

円に外接する四角形 ABCDABCD について,面積は abcdsinθ1+θ22\sqrt{abcd}\sin\dfrac{\theta_1+\theta_2}{2} 円に外接する四角形

こちらは観賞用の公式です。おもしろいですが,知っていて役立つことはほとんどないでしょう。

証明にはブラーマグプタの公式の一般形であるブレートシュナイダーの公式を使います。

定理4の証明

まず,ブレートシュナイダーの公式に現れる (sa)(s-a) を計算する:

sa=a+b+c+d2=2c2=c\begin{aligned}&s-a\\ &=\dfrac{-a+b+c+d}{2}\\ &=\dfrac{2c}{2}\\ &=c\end{aligned}

ただし,変形の途中で定理2(a+c=b+da+c=b+d)を用いた。

同様に,sb=d,sc=a,sd=bs-b=d, s-c=a, s-d=b より,

(sa)(sb)(sc)(sd)=abcd(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)=abcd

よってブレートシュナイダーの公式より,四角形の面積は,

abcdabcdcos2θ1+θ22=abcdsinθ1+θ22\begin{aligned}&\sqrt{abcd-abcd\cos^2\dfrac{\theta_1+\theta_2}{2}}\\ &=\sqrt{abcd}\sin\dfrac{\theta_1+\theta_2}{2}\end{aligned}

円に外接し内接もする四角形

円に内接かつ外接する四角形

面積公式(定理4)が使いにくいのは,ブレートシュナイダーの公式が使いにくい理由と同じく θ1+θ2\theta_1+\theta_2 の値を求めるのが難しいからです。

θ1+θ2\theta_1+\theta_2 が簡単に求まる場合には威力を発揮します。

例えば,円に外接する四角形がさらに別の円に内接する場合,円に内接する四角形の性質より θ1+θ2=180\theta_1+\theta_2=180^{\circ} なので S=abcdS=\sqrt{abcd} となります。

これは覚えるに値する非常に美しい公式ですね!

円に内接して別の円に外接する四角形を描くのに大変苦労しました。