円に外接する四角形とその性質

円外の点 $A$ から引いた2本の接線の接点を $P,Q$ とするとき $AP=AQ$ を示せばよい。

円の中心を $O$ とする。

• 円の半径より $OP=OQ$
• 接線より $\angle APO=\angle AQO=90^{\circ}$
• $AO$ は共通の辺

よって，直角三角形で斜辺と他の1辺が等しいので三角形 $APO$ と $AQO$ は合同。よって $AP=AQ$

図のように $4$ つの接点を $P,Q,R,S$ とおく。

点 $A$ から円に引いた二本の接線の長さは等しい（定理1）ので，$$AP=AS, BP=BQ, CR=CQ, DR=DS$$

以上 $4$ つの式を足し合わせると，

$$AP+BP+CR+DR=BQ+CQ+AS+DS$$

よって，

$$AB+CD=BC+AD$$

まず，ブレートシュナイダーの公式に現れる $(s-a)$ を計算する：

$$\begin{aligned}&s-a\\ &=\dfrac{-a+b+c+d}{2}\\ &=\dfrac{2c}{2}\\ &=c\end{aligned}$$

ただし，変形の途中で定理2（$a+c=b+d$）を用いた。

同様に，$s-b=d, s-c=a, s-d=b$ より，

$$(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)=abcd$$

よってブレートシュナイダーの公式より，四角形の面積は，

$$\begin{aligned}&\sqrt{abcd-abcd\cos^2\dfrac{\theta_1+\theta_2}{2}}\\ &=\sqrt{abcd}\sin\dfrac{\theta_1+\theta_2}{2}\end{aligned}$$