円に外接する四角形の重要な2つの性質

図のように $4$ つの接点を $P,Q,R,S$ とおく。

• 点 $A$ から円に引いた二本の接線の長さは等しい（→補足）ので，$AP=AS$
• 同様に $BP=BQ, CR=CQ, DR=DS$

以上 $4$ つの式を足し合わせると，

$AP+BP+CR+DR=BQ+CQ+AS+DS$

よって，

$AB+CD=BC+AD$

円の中心を $O$ とする。

• 円の半径より $OP=OQ$
• 接線より $\angle APO=\angle AQO=90^{\circ}$
• $AO$ は共通の辺

よって，直角三角形で斜辺と他の1辺が等しいので三角形 $APO$ と $AQO$ は合同。よって $AP=AQ$

まず，ブレートシュナイダーの公式に現れる $(s-a)$ を計算する：

$s-a=\dfrac{-a+b+c+d}{2}\\ =\dfrac{2c}{2}\\ =c$

ただし，変形の途中で定理1を用いた。

同様に，$s-b=d, s-c=a, s-d=b$ より，

$(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)=abcd$

よってブレートシュナイダーの公式より，面積 $S$ は，

$S=\sqrt{abcd-abcd\cos^2\dfrac{\theta_1+\theta_2}{2}}\\ =\sqrt{abcd}\sin\dfrac{\theta_1+\theta_2}{2}$