四次式の因数分解の５パターン

$x^4-3{x}-2$ が二次式×二次式に因数分解できると仮定する：

$x^4-3{x}-2=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$

この式を展開して係数比較すると，$a, b, c, d$ に関する4つの条件式が出てくる：

$\left\{ \, \begin{aligned} & a+c=0\\ & b+ac+d=0\\ & bc+ad=-3\\ & bd = -2 \end{aligned} \right.$

一般的にこのような連立方程式を解くのは難しいが，$a,b,c,d$ が整数であることを期待して解いてみると，簡単に解が求まって因数分解できる：

$x^4-3{x}-2=(x^2+x+2)(x^2-x-1)$

$x^4-x^2-2=(x^2+1)(x^2-2)$

$x^4+x^2+1\\ =(x^2+1)^2-x^2\\ =(x^2+x+1)(x^2-x+1)$

$x^4+x^2+1\\ =\dfrac{(x^4+x^2+1)(x^2-1)}{x^2-1}\\ =\dfrac{x^6-1}{x^2-1}\\ =\dfrac{(x^3+1)(x^3-1)}{(x+1)(x-1)}\\ =\dfrac{(x+1)(x^2-x+1)(x-1)(x^2+x+1)}{(x+1)(x-1)}\\ =(x^2+x+1)(x^2-x+1)$