2平面のなす角の定義と求め方

平面 $\alpha$ の方程式を $a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0$，$\beta$ の方程式を $a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0$ とする。

$\alpha$ の法線ベクトルは $\overrightarrow{n_{\alpha}}=(a_1,b_1,c_1)$

$\beta$ の法線ベクトルは $\overrightarrow{n_{\beta}}=(a_2,b_2,c_2)$

ここで，法線ベクトルの定義より，

• $\overrightarrow{n_{\alpha}}$ は直線 $l_{\alpha}$ と交線 $l$ の両方に垂直
• $\overrightarrow{n_{\beta}}$ は直線 $l_{\beta}$ と交線 $l$ の両方に垂直

よって，$l_{\alpha}$ と $l_{\beta}$ のなす角は $\overrightarrow{n_{\alpha}}$ 方向の直線と $\overrightarrow{n_{\beta}}$ 方向の直線のなす角と等しい。 (交線 $l$ に垂直な平面を図示した)

よって求める角度を $\theta$ とすると，

$|\overrightarrow{n_{\alpha}}\cdot\overrightarrow{n_{\beta}}|=|\overrightarrow{n_{\alpha}}||\overrightarrow{n_{\beta}}|\cos\theta$ より，

$|a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2|$

$\:=\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}\cos\theta$

となり冒頭の公式を得る。