東大数学（図形問題）のポイントと例題

メネラウスの定理より，

$\dfrac{AN}{NB}\dfrac{BC}{CL}\dfrac{LP}{PA}=1$

よって，$3LP=4PA$

再びメネラウスの定理より

$\dfrac{AM}{MC}\dfrac{CB}{BL}\dfrac{LQ}{QA}=1$

よって，$6LQ=QA$

この二つの式から $AP:PQ:QL=3:3:1$ が分かる。（→補足）

対称性から $CR:RP:PN=3:3:1$ なども分かる。

辺の比が分かったので，三角形と面積比の関係を駆使して $ABC$ の面積から $PQR$ の面積を作り出す。

$\frac{2}{3}|ABC|=|ALC|$

$\frac{3}{7}|ALC|=|PQC|$

$\frac{1}{2}|PQC|=|PQR|$

以上3つの式を辺々かけ合わせると $|ABC|=7|PQR|$ を得る。

$AB=\overrightarrow{b}$ ，$AC=\overrightarrow{c}$ とおき，この二本のベクトルで全てを表していく。

まず，$\overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{b}$ であり，

$P$ は $NC$ 上にあるので（$NP:PC=s:1-s$ とすると），

$\overrightarrow{AP}=(1-s)\dfrac{\overrightarrow{b}}{3}+s\overrightarrow{c}$ と書ける。

これと，$A,P,L$ が一直線上にあることから $\dfrac{1-s}{3}:s=2:1$

これを解くと $s=\dfrac{1}{7}$ となり，$NP:PC=1:6$ を得る。

同じことを $Q$ について行う（$Q$ は $BM$ 上にあり，$A,Q,L$ が一直線上にあることを利用）と $BQ:QM=3:4$ を得る。

この二つの情報と対称性より $AP:PQ:QL=3:3:1$ を得る。

以下解答1と同様。