広義積分の意味といろいろな例

$\displaystyle\int_0^\infty e^{-x}dx$ という広義積分を定義に従って計算すると，

$\displaystyle\lim_{b\to\infty}\int_0^be^{-x}dx\\ =\displaystyle\lim_{b\to\infty}\left[-e^{-x}\right]_0^b\\ =\displaystyle\lim_{b\to\infty}(-e^{-b}+1)\\ =1$

$\displaystyle\int_1^{\infty}\dfrac{1}{x^s}dx$ を計算する。

• $s>1$ のとき，
  $\displaystyle\lim_{b\to\infty}\left[\dfrac{x^{1-s}}{1-s}\right]_1^{b}=\dfrac{1}{s-1}$ に収束する。
• $s=1$ のとき，
  $\displaystyle\lim_{b\to\infty}\left[\log x\right]_1^{b}$ は発散する。
• $s<1$ のとき，
  $\displaystyle\lim_{b\to\infty}\left[\dfrac{x^{1-s}}{1-s}\right]_1^{b}$ は発散する。

$\displaystyle\int_{a}^b e^{-x^2}dx$ は簡単な式で表せないが，広義積分については $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}$ になることが知られている。

$\displaystyle\int_{a}^b \sin{x^2}dx$ は簡単な式で表せないが，広義積分については $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\sin{x^2}dx=\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}$ になることが知られている。

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{x}{1+x^2}dx$ は収束しない。

$\displaystyle\int_0^1\dfrac{1}{x^s}dx$ を計算する。

• $s>1$ のとき，
  $\displaystyle\lim_{a_0\to 0}\left[\dfrac{x^{1-s}}{1-s}\right]_{a_0}^{1}$ は発散する。
• $s=1$ のとき，
  $\displaystyle\lim_{a_0\to 0}\left[\log x\right]_{a_0}^{1}$ は発散する。
• $s<1$ のとき，
  $\displaystyle\lim_{a_0\to 0}\left[\dfrac{x^{1-s}}{1-s}\right]_{a_0}^{1}=\dfrac{1}{1-s}$ に収束する。

$z>0$ のもとで，$\displaystyle\int_0^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt$ という広義積分は収束することが知られている。

$\displaystyle\int_0^{\infty}\dfrac{x^3}{e^x-1}dx=\dfrac{\pi^4}{15}$

$\displaystyle\int_0^{1}\dfrac{1}{x^x} dx=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^n}$