2年生の夢（sophomore's dream）

左辺の被積分関数を変形する：

$\dfrac{1}{x^x}=x^{-x}\\ =e^{-x\log x}\\ =\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-x\log x)^n}{n!}$

よって，左辺は（積分とシグマを交換すると）

$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{n!}\int_0^1x^n(\log x)^ndx$

これに上記の積分公式を用いると，

$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{(n+1)^{n+1}}$

となり，右辺と一致する。

左辺の被積分関数を変形する：

$x^x=e^{x\log x}\\ =\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(x\log x)^n}{n!}$

よって，左辺は（積分とシグマを交換すると）

$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n!}\int_0^1x^n(\log x)^ndx$

これに上記の積分公式を用いると，

$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{(n+1)^{n+1}}$

となり，右辺と一致する。

$\log x=u$ と置換すると，$\dfrac{du}{dx}=\dfrac{1}{x}$ より，

$\displaystyle\int_0^1x^n(\log x)^ndx=\displaystyle\int_{-\infty}^0e^{u(n+1)}u^ndu$

さらに，$-u(n+1)=t$ と置換すると上式は，

$\dfrac{(-1)^n}{(n+1)^{n+1}}\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{n}dt$

となる。これにガンマ関数の積分公式を用いると求める式を得る。