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ボールウェイン積分

更新日時 2021/03/07
ボールウェイン積分

00 以上の整数 nn と,k=1nak1\displaystyle\sum_{k=1}^n|a_k|\leq 1 を満たす実数 a1,,ana_1,\cdots, a_n に対して,

0sinxx(k=1nsinakxakx)dx=π2\displaystyle\int_0^{\infty}\dfrac{\sin x}{x}\left(\prod_{k=1}^n\dfrac{\sin a_kx}{a_kx}\right)dx=\dfrac{\pi}{2}

非常に美しい積分公式です。高校生でも頑張れば雰囲気はつかめると思います。

目次
  • ボールウェイン積分について

  • n=0,1n=0,1 の場合

  • 証明(完結編)

ボールウェイン積分について

  • n=0n=0 の場合は(k=10\displaystyle\prod_{k=1}^011 とみなす),0sinxxdx=π2\displaystyle\int_0^{\infty}\dfrac{\sin x}{x}dx=\dfrac{\pi}{2} という有名な積分(ディリクレ積分)になります。

  • aka_k の値によらず,積分値が一定というのが美しいです。

  • sinxx\dfrac{\sin x}{x} はsinc関数と呼ばれる有名な関数です。→sinx/xについて覚えておくべき2つのこと

  • なお,ak=0a_k=0 となる場合,左辺の分母が 00 になってしまいますが,その場合は両辺に aka_k をかけた式が (0=00=0 となり)成立している,と考えてください。

n=0,1n=0,1 の場合

n=0n=0 の場合は省略します。 n=1n=1 の場合:

0sinxsinaxax2dx=π2\displaystyle\int_0^{\infty}\dfrac{\sin x\sin ax}{ax^2}dx=\dfrac{\pi}{2}

n=0n=0 の場合に帰着することで証明します。

n=1 の場合の証明

積和公式:
sinxsinax=12cos(a+1)x+12cos(a1)x\sin x\sin ax=-\dfrac{1}{2}\cos (a+1)x+\dfrac{1}{2}\cos (a-1)x
および部分積分を用いると,左辺は,

0sinxsinax1ax2dx=[sinxsinaxax]0+0(a+1)sin(a+1)x(a1)sin(a1)x2axdx=0(a+1)sin(a+1)x2axdx0(a1)sin(a1)x2axdx\displaystyle\int_0^{\infty}\sin x\sin ax\cdot\dfrac{1}{ax^2}dx\\ =\displaystyle\left[-\dfrac{\sin x\sin ax}{ax}\right]_0^{\infty}\\+\displaystyle\int_0^{\infty}\dfrac{(a+1)\sin (a+1)x-(a-1)\sin (a-1)x}{2ax}dx\\ =\displaystyle\int_0^{\infty}\dfrac{(a+1)\sin (a+1)x}{2ax}dx-\int_0^{\infty}\dfrac{(a-1)\sin (a-1)x}{2ax}dx

ここで,y=(a+1)x,z=(a1)xy=(a+1)x,z=(a-1)x と置換すると,上式は,

a+12a0sinyydya12a0sinzzdz=a+12aπ2+a12aπ2=π2\dfrac{a+1}{2a}\displaystyle\int_0^{\infty}\dfrac{\sin y}{y}dy-\dfrac{a-1}{2a}\int_0^{-\infty}\dfrac{\sin z}{z}dz\\ =\dfrac{a+1}{2a}\cdot \dfrac{\pi}{2}+\dfrac{a-1}{2a}\cdot \dfrac{\pi}{2}\\ =\dfrac{\pi}{2}

証明(完結編)

冒頭の公式を帰納法で証明します。

証明

n(1)n\:(\geq 1) の場合を仮定して n+1n+1 の場合を証明する。

k=1n+1ak1\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}|a_k|\leq 1 を満たす実数 a1,,an+1a_1,\cdots, a_{n+1} が与えられた状況を考える。

三角不等式より tan+1|t|\leq |a_{n+1}| なる tt に対して k=1n1ak+an±t1\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}|a_k|+|a_n\pm t|\leq 1 であるので帰納法の仮定により,

0sinxx(k=1n1sinakxakx)sin(an±t)xxdx=π2(an±t)\displaystyle\int_0^{\infty}\dfrac{\sin x}{x}\left(\prod_{k=1}^{n-1}\dfrac{\sin a_kx}{a_kx}\right)\dfrac{\sin(a_n\pm t)x}{x}dx=\dfrac{\pi}{2}(a_n\pm t)

プラス側の式とマイナス側の式を加えて和積公式を使うと,

20sinxx(k=1n1sinakxakx)sinanxxcostxdx=πan2\displaystyle\int_0^{\infty}\dfrac{\sin x}{x}\left(\prod_{k=1}^{n-1}\dfrac{\sin a_kx}{a_kx}\right)\dfrac{\sin a_nx}{x} \cos txdx=\pi a_n

次に,両辺 tt00 から an+1a_{n+1} まで積分する(積分の順序交換は認める)と,

20sinxx(k=1n1sinakxakx)sinanxxsinan+1xxdx=πanan+12\displaystyle\int_0^{\infty}\dfrac{\sin x}{x}\left(\prod_{k=1}^{n-1}\dfrac{\sin a_kx}{a_kx}\right)\dfrac{\sin a_nx}{x} \dfrac{\sin a_{n+1}x}{x}dx=\pi a_na_{n+1}

両辺 2anan+12a_na_{n+1} で割ると求める式を得る。

なお,この記事は

D. Borwein, J. M. Borwein: Some remarkable properties of sinc and related integrals.

という文献を参考にしています。

n=1n=1 の場合の証明は知人のY氏に教えてもらったものです,感謝!

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