ボールウェイン積分

積和公式： $$\sin x\sin ax=-\dfrac{1}{2}\cos (a+1)x+\dfrac{1}{2}\cos (a-1)x$$ および部分積分を用いると，左辺は，

$$\begin{aligned} &\int_0^{\infty}\sin x\sin ax\cdot\dfrac{1}{ax^2}dx\\ &=\left[-\dfrac{\sin x\sin ax}{ax}\right]_0^{\infty}\\ &\quad+\int_0^{\infty}\dfrac{(a+1)\sin (a+1)x-(a-1)\sin (a-1)x}{2ax}dx\\ &=\int_0^{\infty}\dfrac{(a+1)\sin (a+1)x}{2ax}dx-\int_0^{\infty}\dfrac{(a-1)\sin (a-1)x}{2ax}dx \end{aligned}$$

ここで，$y=(a+1)x,z=(a-1)x$ と置換すると，上式は，

$$\begin{aligned} &\dfrac{a+1}{2a} \int_0^{\infty}\dfrac{\sin y}{y}dy-\dfrac{a-1}{2a}\int_0^{-\infty}\dfrac{\sin z}{z}dz\\ &=\dfrac{a+1}{2a}\cdot \dfrac{\pi}{2}+\dfrac{a-1}{2a}\cdot \dfrac{\pi}{2}\\ &=\dfrac{\pi}{2} \end{aligned}$$

$n\:(\geq 1)$ の場合を仮定して $n+1$ の場合を証明する。

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}|a_k|\leq 1$ を満たす実数 $a_1,\cdots, a_{n+1}$ が与えられた状況を考える。

三角不等式より $|t|\leq |a_{n+1}|$ なる $t$ に対して $\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}|a_k|+|a_n\pm t|\leq 1$ であるので帰納法の仮定により，

$$\begin{aligned} &\int_0^{\infty}\dfrac{\sin x}{x}\left(\prod_{k=1}^{n-1}\dfrac{\sin a_kx}{a_kx}\right)\dfrac{\sin(a_n\pm t)x}{x}dx\\ &=\dfrac{\pi}{2} (a_n\pm t) \end{aligned}$$

プラス側の式とマイナス側の式を加えて和積公式を使うと，

$$\begin{aligned} &2\int_0^{\infty}\dfrac{\sin x}{x}\left(\prod_{k=1}^{n-1}\dfrac{\sin a_kx}{a_kx}\right)\dfrac{\sin a_nx}{x} \cos txdx\\ &=\pi a_n \end{aligned}$$

次に，両辺 $t$ で $0$ から $a_{n+1}$ まで積分する（積分の順序交換は認める）と，

$$\begin{aligned} &2 \int_0^{\infty}\dfrac{\sin x}{x}\left(\prod_{k=1}^{n-1}\dfrac{\sin a_kx}{a_kx}\right)\dfrac{\sin a_nx}{x} \dfrac{\sin a_{n+1}x}{x}dx\\ &=\pi a_na_{n+1} \end{aligned}$$

両辺 $2a_na_{n+1}$ で割ると求める式を得る。