グラムシュミットの直交化法の意味と具体例

・正規性（長さが1であること）

各ステップの後半の式で正規化している（$\dfrac{v}{|v|}$ というタイプのベクトルの長さは1である）のでOK。

・直交性

実際に計算する。 $$\begin{aligned} &u_1\cdot u_2\\ &= \dfrac{1}{|v_2|}u_1\cdot v_2\\ &= \dfrac{1}{|v_2|} (a_2\cdot u_1-(a_2\cdot u_1)|u_1|^2)\\ & =0 \end{aligned}$$

より $u_1$ と $u_2$ は直交する。 $u_2\cdot u_3=0,u_3\cdot u_1=0$ も同様に示せる。

・$a_1,a_2,a_3$ を「用いて」いること

• $u_1$ は $a_1$ の定数倍
• $u_2$ は「$a_2$ と $u_1$ の定数倍の和」つまり $a_1$ と $a_2$ の線形結合で表せる
• $u_3$ は「$a_3$ と $u_1$ と $u_2$ の定数倍の和」つまり $a_1$ と $a_2$ と$a_3$ の線形結合で表せる

STEP1：

$|a_1|=\sqrt{3}$ より $u_1=\dfrac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)$

STEP2：

$$\begin{aligned} v_2 &= a_2-(a_2\cdot u_1)u_1\\ &= a_2-\dfrac{2}{\sqrt{3}}u_1\\ &= \dfrac{1}{3} (1,-5,4) \end{aligned}$$

より $u_2=\dfrac{1}{\sqrt{42}}(1,-5,4)$

STEP3：

$$\begin{aligned} v_3 &= a_3-(a_3\cdot u_1)u_1-(a_3\cdot u_2)u_2\\ &= a_3-\sqrt{3}u_1-\dfrac{6}{\sqrt{42}}u_2\\ &= (-1,1,3)-(1,1,1)-\dfrac{6}{42} (1,-5,4)\\ &=\dfrac{5}{7} (-3,1,2) \end{aligned}$$

より $u_3=\dfrac{1}{\sqrt{14}}(-3,1,2)$