行列の上三角化～グラム・シュミットの直交化法を用いて

1. （ノルムが $1$ の）固有ベクトルを1つ持ってくる。
2. 固有ベクトルと直交する（ノルムが $1$ の）ベクトルを用意する。
3. 2つのベクトルを並べてできた行列（とその逆行列）で挟む。

※ 直交する2つのベクトルは線型独立であるため，用意した行列が正則行列であることは明らかです。

上三角化の例

原理（興味がある人向け）

$v$ を $A$ の固有値 $\lambda$ の固有ベクトルとします。$w$ を $v$ と直交するベクトルとします。

こうして得られた基底 $v,w$ について，$A$ 倍する線型写像の変換行列を計算しましょう。

定義から明らかに $Av = \lambda v$ です。$Aw$ が具体的にどうなるかは分かりませんが，少なくとも $Aw = p v + q w$ と書けることは明らかです。

これを踏まえると $$A \begin{pmatrix} v & w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v & w \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda & p\\0 &q \end{pmatrix}$$ と書けます。

$P = \begin{pmatrix} v & w \end{pmatrix}$ と書き直すと

$$P^{-1} A P = \begin{pmatrix} \lambda & p\\0 &q \end{pmatrix}$$ となりました。

1. （ノルムが $1$ の）固有ベクトルを1つ持ってくる。
2. 固有ベクトルと直交する（ノルムが $1$ の）ベクトルを $n-1$ 個用意する。特に互いに直交するように取る。
3. n個のベクトルを並べてできた行列で挟む。
4. 挟んだら $\begin{pmatrix} 1 & \ast \\ O &A' \end{pmatrix}$（$A'$ は $(n-1) \times (n-1)$ 行列）となるため，$A'$ に対して 1～3 をする。
5. 以下繰り返し。

ステップが増えました。実際に計算してみてステップが増えることを実感しましょう。

上三角化の例（$3 \times 3$）

$A = \begin{pmatrix} 1&0&1\\ 1&2&0\\ 1&1&0 \end{pmatrix}$ を上三角化してみましょう。

ステップ1

$|A - \lambda I| = -\lambda^3 + 3 \lambda^2 - \lambda - 1$ と計算されます。これは $\lambda = 1$ を根に持ちます。よって固有値 $1$ に対する固有ベクトルを用意するとよいです。

計算すると $\begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix}$ が固有値 $1$ に対する固有ベクトルになります。

ステップ2

$\begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix}$，$\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}$ はステップ1で求めたベクトルと直交します。

※ もしここで互いに直交しないベクトルを取ってしまった場合も大丈夫です。グラム・シュミットの直交化法 により直交するようにできます。

ステップ3

$P_1 = \begin{pmatrix} 1&1&0\\ -1&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}$ とおきます。逆行列を計算すると ${P_1}^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} &-\frac{1}{2} &0\\ \frac{1}{2} &\frac{1}{2} &0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}$ となります。

実際に挟んでみましょう。

$$\begin{aligned} &{P_1}^{-1} AP_1\\ &= \begin{pmatrix} \frac{1}{2} &-\frac{1}{2} &0\\ \frac{1}{2} &\frac{1}{2} &0\\ 0&0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&0&1\\ 1&2&0\\ 1&1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&1&0\\ -1&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} \frac{1}{2} &-\frac{1}{2} &0\\ \frac{1}{2} &\frac{1}{2} &0\\ 0&0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&1&1\\ -1&3&0\\ 0&2&0 \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} 1&-1&\frac{1}{2}\\ 0&2&\frac{1}{2}\\ 0&2&0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$ となりました。

右下の $2 \times 2$ 行列を上三角化したくなりますね。

ステップ4

右下の $2\times2$ 行列 $B=\begin{pmatrix} 2 & \frac{1}{2}\\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ を上三角化する。

まず固有値を求める：$$\begin{aligned} |B-\lambda I| &= \begin{vmatrix} 2-\lambda & \frac{1}{2}\\ 2 & -\lambda \end{vmatrix} \\ &=(2-\lambda)(-\lambda)-1 =\lambda^2-2\lambda-1 \end{aligned}$$

$\lambda = 1 \pm \sqrt{2}$

それぞれの固有値に対する固有ベクトルは $$\lambda=1+\sqrt{2}:\quad \begin{pmatrix} \dfrac{1+\sqrt{2}}{2}\\ 1 \end{pmatrix}$$ $$\lambda=1-\sqrt{2}:\quad \begin{pmatrix} \dfrac{1-\sqrt{2}}{2}\\ 1 \end{pmatrix}$$

これらを並べて$$Q= \begin{pmatrix} \dfrac{1+\sqrt{2}}{2} & \dfrac{1-\sqrt{2}}{2}\\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ とおく。

すると $\det Q=\sqrt{2}$ より $Q$ は正則で，逆行列は $$Q^{-1} =\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & -\dfrac{1-\sqrt{2}}{2}\\[6pt] -1 & \dfrac{1+\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}$$ である。

このとき $$Q^{-1} B Q = \begin{pmatrix} 1+\sqrt{2} & 0\\ 0 & 1-\sqrt{2} \end{pmatrix}$$ となり，$B$ は上三角化（実際には対角化）できる。

したがって，元の $3\times3$ 行列に戻すために $$P_2= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \dfrac{1+\sqrt{2}}{2} & \dfrac{1-\sqrt{2}}{2}\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ とおけば， $$P_2^{-1}\bigl(P_1^{-1} A P_1\bigr) P_2 = \begin{pmatrix} 1 & -\dfrac{\sqrt{2}}{2} & \dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ 0 & 1+\sqrt{2} & 0\\ 0 & 0 & 1-\sqrt{2} \end{pmatrix}$$ と上三角化できる。

よって $P=P_1P_2$ とすれば $P^{-1} A P$ は上三角行列となる。

実は上三角化は一意ではありません。勘のいい人は「対角化だって上三角化じゃないか」と気付いているかもしれませんね。

一番のポイントは「上三角化は絶対にできる」というところです（対角化はいつもできるとは限りません）。行列式の計算をするとき，上三角行列だと簡単でしたね。その例のように上三角行列にしておくことはメリットが多いです。