ユニタリ行列の定義と性質の証明

$n \times n$ の複素行列 $U$ について，以下の（同値な）どれかの条件を満たすときユニタリ行列(unitary matrix)と言います。

直交行列とほとんど同じですが，以下のような違いがあります。

• $U^{*}$ とは $\overline{U^T}$ のことです（転置をとって複素共役をとったもの）。

• 複素ベクトルの内積は $x = (x_1, \dots, x_n), y = (y_1, \dots, y_n)$ のとき$$x \cdot y =\overline{x_1}y_1 + \cdots +\overline{x_n}y_n$$で定義されます。$x$ の側で複素共役をとることに注意しましょう。これがないと $\|x\|^2 = x \cdot x$ が負になったり虚数になったりしてしまいます。（$y$ の側で複素共役をとる流儀もあります。）

5つの定義の中では，5つ目の定義が感覚的に重要です。「$x \mapsto Ux$ という変換で内積が保たれる」ということを意味しており，ユニタリ行列とは内積を変えないような変換を表す行列だと理解できます。（ユニタリ unitary は「単位的」である，つまり変換の前後でベクトルの内積が $1$ 倍になるという意味です。）

ユニタリ行列は直交行列の拡張なので，直交行列と似たような性質が成り立ちます。

ユニタリ行列についての直感を持っていればほとんど明らかな性質です！

これはエルミート行列についての記事で詳しく扱います。詳しくはエルミート行列とその性質，ユニタリ対角化の証明 をご覧ください。

$n$ が小さいときの $n \times n$ ユニタリ行列全体の集合 $U(n)$ がどのようになっているか考えてみましょう。

• $n=1$ のとき

$1 \times 1$ ユニタリ行列は，絶対値 $1$ の複素数全体です。複素数平面上で図形的に考えると、 $U(1)$ は単位円周だと見なすことができます。

• $n=2$ のとき

$2 \times 2$ ユニタリ行列は、$|\alpha|^2+|\beta|^2=1$ を満たす複素数 $\alpha, \beta$ と実数 $\theta$ により$$U=\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\-e^{i\theta}\overline{\beta}&e^{i\theta}\overline{\alpha}\end{pmatrix}$$と表すことができます。$U(1)$ と違い図形的な解釈は難しいですが，その自由度（実数いくつ分のパラメータで表せるか）は $4$ であることが表示からわかります。（複素数 $\alpha, \beta$ と実数 $\theta$ で実数 $5$ つ分の自由度があり，拘束条件 $|\alpha|^2+|\beta|^2=1$ により $1$ つ減って $4$ になる。）より一般に，$U(n)$ の自由度は $n^2$ になることが知られています。