エルミート行列とその性質，ユニタリ対角化の証明

共役転置は$$H^* = \overline{\begin{pmatrix}1&x&y\\2i&3 &z\\3+2i & 5-i & 4\end{pmatrix}} = \begin{pmatrix}1&\overline{x}&\overline{y}\\-2i&3 &\overline{z}\\3-2i & 5+i & 4\end{pmatrix}$$となる。これが $H$ と一致する条件は $x = -2i, y = 3-2i, z = 5+i$ である。

エルミート行列 $H$ について，その固有値 $\lambda$ と、$\lambda$ に対する固有ベクトル $x \neq 0$ をとる。

• 固有値の定義より $Hx = \lambda x$
• 共役転置をとって $x^* H^* = \overline{\lambda}x^*$，$H^*=H$ より $x^* H = \overline{\lambda}x^*$

これらを使って複素数 $x^* H x$ を次のように変形する。

• $x^* H x = x^* \lambda x = \lambda (x^* x)$
• $x^* H x = x^* \overline{\lambda} x = \overline{\lambda} (x^* x)$

ここで $x^*x = \overline{x_1}x_1 + \cdots +\overline{x_n}x_n$ は　$x \neq 0$ のとき正の値だから，$\lambda = \overline{\lambda}$ となる。

実対称行列の場合と全く同様である。

固有多項式を計算する。 $$\begin{aligned} \left| A - t I \right| &= \begin{vmatrix} -t & 1 & i\\ 1 & - t & 0\\ -i & 0 & -t \end{vmatrix}\\ &= -t^3 + 2t \end{aligned}$$

これより固有値は $0 , \pm \sqrt{2}$ である。それぞれの固有ベクトルとしてノルムが $1$ のものを取る。

$v = \begin{pmatrix} x\\ y \\ z \end{pmatrix}$ を $0$ の固有ベクトルとすると， $$\begin{cases} y+iz = 0\\ x = 0\\ -ix = 0 \end{cases}$$ より $0$ の固有ベクトルとして $\begin{pmatrix} 0\\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$ を取ることができる。

同様に計算すると，$\sqrt{2}$ の固有ベクトルとして $\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{2} \\ -\frac{i}{2} \end{pmatrix}$， $-\sqrt{2}$ の固有ベクトルとして $\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ - \frac{1}{2} \\\frac{i}{2} \end{pmatrix}$ が得られる。

この3つを並べた $$U = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{2} & - \frac{1}{2}\\ \frac{i}{\sqrt{2}} & -\frac{i}{2} & \frac{i}{2} \end{pmatrix}$$ によって $A$ を対角化できる。

$U^{\ast} = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{i}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{2} & \frac{i}{2}\\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{2} & -\frac{i}{2} \end{pmatrix}$ となるため，$U^{\ast} U = I$ である。よって $U$ はユニタリ行列である。

$H$ を $n \times n$ のエルミート行列とする。$H$ の固有値 $\lambda$ を1つとり，その固有空間を $W$ とする。つまり$$W=\{x \in \mathbb{C}^n \mid Hx = \lambda x\}$$とする。もし $W=\mathbb{C}^n$ なら $H$ は $\lambda$ によるスカラー倍に等しいから，既に対角行列である。よって以下では $W \subsetneq{\mathbb{C}^n}$ だとする。また $W$ の直交補空間を$$W^{\perp}=\{x \in \mathbb{C}^n \mid x\text{は}W\text{の元すべてと直交する}\}$$ とする。このとき$$\mathbb{C}^n = W \oplus W^{\perp}$$つまり $W$ の基底と $W^{\perp}$ の基底を合わせたものが $\mathbb{C}^n$ の基底をなす。そこで $u_1,\dots, u_k \in W$ を $W$ の正規直交基底とし，$u_{k+1},\dots,u_n$ を$W^\perp$ の正規直交基底とすれば，これらを合わせた $u_1,\dots,u_n$ は $\mathbb{C}^n$ の正規直交基底となる。

さらに，$$H(W) \subseteq W, H(W^\perp) \subseteq W^\perp$$が成り立つ。なぜなら $x \in W$ のとき $H(Hx)=H(\lambda x)=\lambda(Hx)$ より $Hx$ も固有値 $\lambda$ の固有ベクトル（or $0$）であり、$x \in W^\perp$ のときは $y \in W$ について$$(Hx, y) = (x, H^*y)=(x, Hy)=(x, \lambda y)=\lambda(x, y)=0$$より $Hx$ も $W$ と直交するからである。

よって，$Hu_1,\dots,Hu_k$ は $W$ の元だから $u_1,\dots,u_k$ の線型結合で表せ，同様に $Hu_{k+1},\dots,Hu_n$ も $u_{k+1},\dots,u_n$ の線型結合で表せる。そこで $u_1, \dots, u_n$ を縦ベクトルと見て横に並べた行列 $$U=(u_1,\dots, u_n)$$を考えると，$U^{-1}HU$ は $k \times k$ 行列 $H_1$ と $(n-k) \times (n-k)$ 行列 $H_2$ により $$U^{-1}HU = \begin{pmatrix} H_1& 0 \\ 0 &H_2\\ \end{pmatrix}$$ という形に表せる。（これは次のようにしてわかる。例えば $HUe_1 = Hu_1$ は $u_1, \dots,u_k$ の線型結合として $$HUe_1 = a_1u_1 + \cdots +a_ku_k$$のように書けるはずであり，$Ue_i = u_i$ より $U^{-1}u_i = e_i$ となることを使うと $$\begin{aligned} U^{-1}HUe_1 &= U^{-1}(a_1u_1 + \cdots +a_ku_k)\\ &=a_1e_1 + \cdots +a_k e_k \end{aligned}$$ となるから，$U^{-1}HU$ の第 $1$ 列は上 $k$ 個の成分しか持たない。他の列も同様。）

さらに $U$ がユニタリ行列であることから $U^{-1}HU$ はエルミート行列であり，特に $H_1$ と $H_2$ もエルミート行列である。$W \neq \mathbb{C}^n$ より $k, n- k< n$ だから，数学的帰納法により $H_1, H_2$ は $k\times k$ および $(n-k)\times(n-k)$ の ユニタリ行列 $U_1, U_2$ によって対角化できるとしてよい。そこで $n \times n$ のユニタリ行列 $U'$ を $$U' = \begin{pmatrix} U_1& 0 \\ 0 &U_2\\ \end{pmatrix}$$ により定義すると， $$\begin{aligned} (UU')^{-1}H(UU')&=(U')^{-1}(U^{-1}HU)U'\\ &=\begin{pmatrix} U_1^{-1}& 0 \\ 0 &U_2^{-1}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} H_1& 0 \\ 0 &H_2\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} U_1& 0 \\ 0 &U_2\\ \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} U_1^{-1}H_1U_1& 0 \\ 0 &U_2^{-1}H_2U_2\\ \end{pmatrix} \end{aligned}$$ となり，$U_1,U_2$ の取り方からこれは対角行列である。よって $H$ はユニタリ行列 $UU'$ によって対角化できた。