ルジャンドル多項式の性質と計算

• $P_0(x)=1,P_1(x)=x$ は定義。

• 漸化式で $n=1$ とすると
  $2P_2(x)=3xP_1(x)-P_0(x)=3x^2-1$
  より $P_2(x)=\dfrac{3}{2}x^2-\dfrac{1}{2}$

• ちなみに漸化式で $n=2$ とすると
  $3P_3(x)=5xP_2(x)-2P_1(x)=\dfrac{15}{2}x^3-\dfrac{9}{2}x$
  より $P_3(x)=\dfrac{5}{2}x^3-\dfrac{3}{2}x$

$P_0(x)=\dfrac{1}{1}\times 1=1$

$P_1(x)=\dfrac{1}{2}(x^2-1)'=x$

$P_2(x)=\dfrac{1}{4\cdot 2!}\{(x^2-1)^2)\}''\\ =\dfrac{1}{8}(x^4-2x^2+1)''\\ =\dfrac{1}{2}(3x^2-1)$

$P_0(x)$ は0次多項式，つまり定数である。

$\displaystyle\int_{-1}^1P_0^2dx=2$ を満たす正の定数 $P_0$ を求めると，$P_0=1$ となる。

$P_1(x)=Ax+B$ とおく。

$\displaystyle\int_{-1}^1(Ax+B)\cdot 1dx=0$，$\displaystyle\int_{-1}^1(Ax+B)^2dx=\dfrac{2}{3}$ を満たす $A,B$ を求める。一つ目の式から $B=0$ が分かり，二つ目の式から $A^2=1$ が分かる。よって，$P_1(x)=x$

$P_2(x)=Ax^2+Bx+C$ とおく。まず，$\displaystyle\int_{-1}^1P_2(x)\cdot xdx=0$ から $B=0$ が分かる。そして，$\displaystyle\int_{-1}^1P_2(x)\cdot 1dx=0$ と $\displaystyle\int_{-1}^1P_2^2(x)dx=\dfrac{2}{5}$ から $A$ と $C$ が求まる。

なお，計算の途中で偶関数と奇関数の性質を用いると楽。