ルジャンドル多項式の性質と計算

• $P_0(x)=1,P_1(x)=x$ は定義。

• 漸化式で $n=1$ とすると
  $2P_2(x)=3xP_1(x)-P_0(x)=3x^2-1$
  より $P_2(x)=\dfrac{3}{2}x^2-\dfrac{1}{2}$

• ちなみに漸化式で $n=2$ とすると
  $3P_3(x)=5xP_2(x)-2P_1(x)=\dfrac{15}{2}x^3-\dfrac{9}{2}x$
  より $P_3(x)=\dfrac{5}{2}x^3-\dfrac{3}{2}x$

$$P_0(x)=\dfrac{1}{1}\times 1=1$$

$$P_1(x)=\dfrac{1}{2} (x^2-1)'=x$$

$$\begin{aligned} P_2(x) &= \dfrac{1}{4\cdot 2!}\{(x^2-1)^2\}''\\ &= \dfrac{1}{8} (x^4-2x^2+1)''\\ &= \dfrac{1}{2} (3x^2-1) \end{aligned}$$

$P_0(x)$ は0次多項式，つまり定数である。

$$\int_{-1}^1P_0^2dx=2$$ を満たす正の定数 $P_0$ を求めると，$P_0=1$ となる。

$P_1(x)=Ax+B$ とおく。

$$\int_{-1}^1(Ax+B)\cdot 1dx=0\\ \int_{-1}^1(Ax+B)^2dx=\dfrac{2}{3}$$ を満たす $A,B$ を求める。一つ目の式から $B=0$ が分かり，二つ目の式から $A^2=1$ が分かる。よって，$P_1(x)=x$ である。

$P_2(x)=Ax^2+Bx+C$ とおく。

まず， $$\int_{-1}^1P_2(x)\cdot xdx=0$$ から $B=0$ が分かる。そして，$\displaystyle\int_{-1}^1P_2(x)\cdot 1dx=0$ と $\displaystyle\int_{-1}^1P_2^2(x)dx=\dfrac{2}{5}$ から $A$ と $C$ が求まる。

なお，計算の途中で偶関数と奇関数の性質を用いると楽。

帰納的に示す。

1. $m=0$ のとき $$\begin{aligned} &\int_{-1}^1 P_n (x) dx\\ &= \dfrac{1}{2^n n!} \int_{-1}^1 \dfrac{d^n}{dx^n} (x^2 - 1)^n\\ &= \Big[ \dfrac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} (x^2-1)^n \Big]_{-1}^1 \end{aligned}$$ となる。$\dfrac{d^i}{dx^i} (x^2-1)^n$ は $(x^2-1)^{n-i}$ で割り切れる（帰納的に示すことができる）ため，$\dfrac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} (x^2-1)^n$ は $x^2-1$ で割り切れる。
   よって $$\begin{aligned} &\int_{-1}^1 P_n (x) dx\\ &= \Big[ \dfrac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} (x^2-1)^n \Big]_{-1}^1\\ &= 0 \end{aligned}$$ となる。

2. $m=k-1$ で成立するとき $$\begin{aligned} &\int_{-1}^1 x^k P_n(x) dx\\ &= \dfrac{1}{2^n n!} \int_{-1}^1 x^k \dfrac{d^n}{dx^n} (x^2-1)^n\\ &= \dfrac{1}{2^n n!} \Big[ x^k \dfrac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} (x^2-1)^n \Big]_{-1}^1\\ &\quad - \dfrac{1}{2^n n!} \int_{-1}^1 k x^{k-1} \dfrac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} (x^2-1)^n dx \end{aligned}$$ 1項目は $m=0$ のときと同様に $0$ になることがわかる。
   よって $$\begin{aligned} &\int_{-1}^1 x^{k} \dfrac{d^{n}}{dx^{n}} (x^2-1)^n dx\\ &= -k \int_{-1}^1 x^{k-1} \dfrac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} (x^2-1)^n dx \end{aligned}$$ となる。
   これを繰り返すことで $$\begin{aligned} &\int_{-1}^1 x^{k} \dfrac{d^{n}}{dx^{n}} (x^2-1)^n dx\\ &= - k \int_{-1}^1 x^{k-1} \dfrac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} (x^2-1)^n dx\\ &= (-1)^2 k(k-1)\int_{-1}^1 x^{k-2} \dfrac{d^{n-2}}{dx^{n-2}} (x^2-1)^n dx\\ &= \cdots\\ &= (-1)^k k! \int_{-1}^1 x^{k-k} \dfrac{d^{n-k}}{dx^{n-k}} (x^2-1)^n dx\\ &=(-1)^k k! \int_{-1}^1 \dfrac{d^{n-k}}{dx^{n-k}} (x^2-1)^n dx \end{aligned}$$ この積分もまた $m=0$ のときと同様にして $0$ であることが分かる。こうして $$\int_{-1}^1 x^k P_n(x) dx = 0$$ となる。

$(x^2-1)^n$ の最高次は $x^{2n}$ である。

よって $\dfrac{d^n}{dx^n} (x^2-1)^n$ の最高次は $(2n) \cdots (n+1) = \dfrac{(2n)!}{n!}$ である。

こうして $P_n (x) = \dfrac{1}{2^n n!} \dfrac{d^n}{dx^n} (x^2-1)^n$ の最高次係数は $\dfrac{(2n)!}{2^n (n!)^2}$ である。

• $m < n$ のとき，$P_m$ は $m$ 次の多項式である。前の補題1より $$\int_{-1}^1 P_m (x) P_n (x) dx = 0$$ である。

• $m = n$ のとき
  部分積分すると $$\begin{aligned} &\int_{-1}^1 P_m (x) P_m (x) dx\\ &= \dfrac{1}{2^m m!} \Big[ P_m (x) \dfrac{d^{m-1}}{dx^{m-1}} (x^2-1)^m \Big]\\ &\quad - \int_{-1}^1 \left\{ \dfrac{d}{dx} P_m (x) \right\} \dfrac{d^{m-1}}{dx^{m-1}} (x^2-1)^m dx \end{aligned}$$ 1項目は $0$ となる。2項目を再び部分積分する $$\begin{aligned} &\int_{-1}^1 \left\{ \dfrac{d}{dx} P_m (x) \right\} \dfrac{d^{m-1}}{dx^{m-1}} (x^2-1)^m dx\\ &= \Big[ \dfrac{d}{dx} P_m (x) \dfrac{d^{m-2}}{dx^{m-2}} (x^2-1)^m \Big]_{-1}^1\\ &\quad -\int_{-1}^1 \dfrac{d^2}{dx^2} P_m (x) \dfrac{d^{m-2}}{dx^{m-2}} (x^2-1)^m dx \end{aligned}$$ となる。これの1項目もまた $0$ になる。同様の計算を繰り返すことで $$\begin{aligned} &\int_{-1}^1 P_m (x) P_m (x) dx \\ &= \dfrac{(-1)^m}{2^m m!} \int_{-1}^1 (x^2-1)^m \dfrac{d^m}{dx^m} P_m (x) dx \end{aligned}$$ を得る。
  $P_m$ が $m$ 次であることと，補題2より $\dfrac{d^m}{dx^m} P_m (x) = \dfrac{(2m)!}{2^m m!}$ となるため， $$\begin{aligned} &\int_{-1}^1 P_m (x) P_m (x) dx \\ &= \dfrac{(-1)^m (2m)!}{2^{2m} (m!)^2}\int_{-1}^1 (x^2-1)^mdx \end{aligned}$$ ベータ関数の積分公式 より $$\begin{aligned} &\int_{-1}^1 P_m (x) P_m (x) dx \\ &= \dfrac{(-1)^m (2m)!}{2^{2m} (m!)^2} \int_{-1}^1 (x^2-1)^mdx\\ &= \dfrac{(-1)^m (2m)!}{2^{2m} (m!)^2} \times \dfrac{(-1)^m (m!)^2}{(2m+1)!} 2^{2m+1} \\ &= \dfrac{2}{2m+1} \end{aligned}$$ となる。