$f(x)= x \log x$ の時の $x$ を極限まで $０$ に近づけた時の解を教えてください！不定形の極限が分かりません。

$f(x)= x \log x$ に対して、 $t = \dfrac{1}{x}$ とおくと

$f(t)= \dfrac{1}{t} \log \dfrac{1}{t} = - \dfrac{\log t}{t}$

「$x$ を極限まで $０$ に近づけた時」は「$t$ を $\infty$ に近づけた時」なので、

$$f(x) = \lim_{x \to 0} x \log x = \lim_{t \to \infty} \left( - \dfrac{\log t}{t} \right) = 0$$

発散の速さは　$x \gg \log x$ です。