ガウス関数と極限の融合問題～京大特色2025第1問

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{x} = 1$ であるため，十分大きい $n$ に対して $f(\sqrt[n]{x}) = \sqrt[n]{x} - 1$ となる。

よって，十分大きい $n$ に対して $$\dfrac{1}{n f(\sqrt[n]{x})} = \dfrac{\frac{1}{n} - 0}{x^{\frac{1}{n}}-1}$$ である。

$$\begin{aligned} f \left( \dfrac{1}{nf(\sqrt[n]{x})} \right) &= \dfrac{\frac{1}{n} - 0}{x^{\frac{1}{n}}-1} - \left[ \dfrac{\frac{1}{n} - 0}{x^{\frac{1}{n}}-1} \right] \end{aligned}$$

$g(t) = x^{t}$ とおくと $$\lim_{n \to \infty} \dfrac{\frac{1}{n} - 0}{x^{\frac{1}{n}}-1} = \{ g'( 0 ) \}^{-1} = \dfrac{1}{\log x}$$ である。

解の必要条件

$$N = \dfrac{1}{\log x} - \dfrac{1}{2}$$ とおくと， $$\lim_{n \to \infty} \left[ \dfrac{\frac{1}{n} - 0}{x^{\frac{1}{n}}-1} \right] = N$$ である。

各 $\left[ \dfrac{\frac{1}{n} - 0}{x^{\frac{1}{n}}-1} \right]$ は整数であるため，$N$ も整数である。加えて $x > 1$ としていることから $N \geqq 0$ である。

よって，$x$ が題意を満たすのであれば，非負整数 $N$ を用いて $x = e^{\frac{2}{2N+1}}$ と表される。（解の必要条件）

解の十分条件

十分性を示す。つまり，逆に $x = e^{\frac{2}{2N+1}}$ のとき，題意を満たすことを確認する。

このような $x$ において $$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \dfrac{\frac{1}{n} - 0}{x^{\frac{1}{n}}-1} &= \dfrac{1}{\log x} \\ &= \dfrac{1}{\log e^{\frac{2}{2N+1}}}\\ &= N + \dfrac{1}{2} \end{aligned}$$ である。

ガウス関数の性質より $$\dfrac{\frac{1}{n} - 0}{x^{\frac{1}{n}}-1} - 1 < \left[ \dfrac{\frac{1}{n} - 0}{x^{\frac{1}{n}}-1} \right] \leqq \dfrac{\frac{1}{n} - 0}{x^{\frac{1}{n}}-1}$$ である。各辺について $n \to \infty$ を考えると $$N - \dfrac{1}{2} < \lim_{n \to \infty} \left[ \dfrac{\frac{1}{n} - 0}{x^{\frac{1}{n}}-1} \right] \leqq N + \dfrac{1}{2}$$ となる。今，$N$ は整数であるため $$\lim_{n \to \infty} \left[ \dfrac{\frac{1}{n} - 0}{x^{\frac{1}{n}}-1} \right] = N$$ を得る。

したがって $x = e^{\frac{2}{2N+1}}$ は題意を満たす。

以上より求める答えは $x = e^{\frac{2}{2N+1}} \ (n = 0,1,2,\cdots)$ である。

※ $x = e^{\frac{2}{2N+1}}$ が整数ではないこと

$x$ が整数であると仮定すると $x^{2N+1} = e^2$ であるため，$e^2$ も整数である。

よって $e^2$ が整数ではないことを示せば十分である。

$$2.7 < e < 2.8$$ より $$7.29 < e^2 < 7.84$$ より $e^2$ は整数ではない。よって示された。