図形と図形で”はさみうち”～京大特色2025第3問

まず4個で覆うことができることを確認する。

$$A_1 = \{ (x,y) \mid y \geqq e^x - 1 \}$$ とおく。これは $A$ を平行移動したものである。また，$A_1$ は第2象限をすべて含む。

$A_1$ を $90^{\circ}$，$180^{\circ}$，$270^{\circ}$ 回転させたものを順に $A_2,A_3,A_4$ とすると，順に第3，4，1象限を含むため，これらで座標平面を覆うことができる。

$A$ を含む扇を作る。

原点を通り $y = e^x$ と接する直線は $y = ex$ である。よって $$B = \{ (x,y) \mid x \leqq 0 , y \geqq 0 \} \cup \{ (x,y) \mid x \geqq 0 , y \geqq ex \}$$ とすると $A \subset B$ である。

よって以下 $B$ に対して，原点を中心とする回転や平行移動を，何回か行って得られる図形3つで座標平面を覆えると仮定して矛盾を示す。（$B$ で覆えないのであれば，$B$ の部分集合である $A$ でも覆うことはできないためこれで題意が示される。）

以下議論のために図のように

• 扇 $B$ の頂点（点 $(0,0)$）を $\mathrm{P}$
• 半直線 $\{ (x,y) \mid x \leqq 0 , y = 0 \}$ を $m$
• 半直線 $\{ (x,y) \mid y = ex , x \geqq 0 \}$ を $n$

とおく。

$B_i$ で対応する図形を順に $\mathrm{P}_i$，$m_i$，$n_i$ とおく。$m_i \cup n_i$ の図形を境界と呼ぶ。

また，$B$ の頂角（$m$ と $n$ で挟まれる角のうち小さい方）の大きさを $\theta$ とおく。$\tan \theta = - e > -1 = \tan \dfrac{3\pi}{4}$ より $\dfrac{\pi}{2} < \theta < \dfrac{3\pi}{4}$ である。

適切に回転と平行移動をすることで $B_2 = B$ としてよい。

また，議論のために直線 $y = ex$ を新たに $y'$ 軸とよぶことにする。

さらに $(0,0) \notin B_i \ (i=1,3)$ である場合を考える。$B_i$ をその線対称の軸に沿って $(0,0)$ を含むように平行移動したものを $B_i'$ とおくと，$B_i \subset B_i'$ であるため，$B_i$ を $B_i'$ に取り換えて議論してよい。ゆえに $B_1,B_3$ はどれも $(0,0)$ を含むものとして議論する。

加えて $m_i$ または $n_i$ に沿った平行移動を行うことで，$i=1,3$ について $m_i,n_i$ のうち片方だけが $B_2$ と共通部分を持つとしてよい。

• $B_2$ と $n_1,n_3$ が共通部分を持つ場合

$m_1,m_3$ の傾きをそれぞれ $a_1,a_3$ とおく。

$m_1,m_3$ は $B$ を $\theta$ 回転させた図形と共通部分を持つ。$m_1,m_3$ を $x$ 方向に平行移動させても共通部分を持つため，原点を通りそれぞれと平行な直線を考えることで $$a_1,a_3 \geqq 0 , a_1,a_3 \leqq -m$$ を得る。

$m_1,m_3$ は $x$ の負方向に延びる半直線である（$\spadesuit$）であるため，十分大きい正の実数 $R$ について $(R,R(e-1))$ は $B_1,B_3$ に含まれない。

また，$n_2$ の傾きは $e$ であるため，$(R,R(e-1))$ は $B_1$ にも含まれない。

よってこれは矛盾する。

• $B_2$ と $m_1,m_3$ が共通部分を持つ場合

上のケースと同様に考える。$n_1,n_3$ の傾きをそれぞれ $b_1,b_3$ とおくと $$-\dfrac{2e}{e^2-1} \leqq b_1 , b_3 \leqq e$$ である。

なお，不等式の左は $\tan \phi = e$ を満たす $\phi$ を取ると，$\tan$ の加法定理より $$\tan (\phi - \theta) = \dfrac{e-(-e)}{1+e(-e)} = \dfrac{2e}{1-e^2}$$ と得られる。

よって十分大きい $R$ について $(-R,-Re)$ とおくとこれはどの $B_i$ にも含まれない。よって矛盾が生じる。

• $B_2$ と $m_1,n_3$ が共通部分を持つ場合

$m_3$ の傾きを $a_3$ とすると，1つ目のケースと同様に考えることで $$a_3 \geqq 0 , a_3 \leqq - e$$ となる。

$n_1$ の傾きを $b_1$ とすると，2つ目のケースと同様に考えることで $$-\dfrac{2e}{e^2-1} \leqq b_1 \leqq e$$ となる。

さて $$\begin{aligned} & -e - \left( -\dfrac{2e}{e^2-1} \right)\\ &= \dfrac{-(e^2-1)+2}{e^2-1}e\\ &= \dfrac{-e^2+3}{e^2-1}e \\ &< 0 \end{aligned}$$ より $-e < - \dfrac{2e}{e^2-1}$ である。

ゆえに原点から十分遠い箇所で $n_1$ は常に $m_3$ よりも反時計回りに進んだ位置にある。つまり $-e < t < - \dfrac{2e}{e^2-1}$ を満たす実数を取ると，十分大きな正の実数 $R$ について $(R,Rt)$ は $B_1,B_3$ どちらにも含まれない。

また，$R > 0, Rt < 0$ であるため，$B_2$ にも含まれない。

こうした点の存在は $B_1,B_2,B_3$ では座標平面を覆うことと矛盾する。

よって $B$ に対して，原点を中心とする回転や平行移動を，何回か行って得られる図形3つで座標平面を覆うことはできない。$A \subset B$ より $A$ についても同様に原点を中心とする回転や平行移動を，何回か行って得られる図形3つで座標平面を覆うことはできない。

こうして求める $n$ の最小値は $4$ である。