多項式関数の性質の活用～京大特色2020から

多項式関数の極の数はその次数より小さい。ゆえに $x$ を十分大きくとると $f(x), g(x)$ は単調増加もしくは単調減少する。

$f$ を $-f$ に取り換えた場合， $$\begin{aligned} &\left| \dfrac{g(x)-g(y)}{-f(x)-\{ - f(y)\}}\right|\\ &= \left| \dfrac{g(x)-g(y)}{- \{ f(x)- f(y)\}}\right|\\ &= \left| \dfrac{g(x)-g(y)}{f(x)- f(y)}\right| \end{aligned}$$ であるため，$f(x),g(x)$ は十分大きな $x$ で単調増加するとしてよい。このことは $f(x),g(x)$ の最高次係数が正であることと同値である。

$$G(y) = \{ g(x) - g(y) \} - \{ f(x) - f(y) \}$$ とおく。

$$G'(y) = g'(y) - f'(y)$$ である。さて $k < n$ より $G'(y)$ の最高次は $n-1$ 次でその係数は $-n a$（$f(x)$ の最高次係数を $a$ とおいた）である。

前述した通り，$a > 0$ であるため $-na < 0$ である。よって $G'(y)$ は十分大きい $y$ について負である。

$x$ を十分大きく取りなおすことで $y > x$ で $G'(y) < 0$ とできる。

よって $y > x$ で $G(y) > G(x) = 0$ である。

こうして $$\{ g(x) - g(y) \} - \{ f(x) - f(y) \} > 0$$ である。

$f,g$ は $f(x) - f(y) , g(x) - g(y) < 0$ であるため $$0 \leqq \dfrac{g(x) - g(y)}{f(x) - f(y)} < 1$$ は従う。

以下 $g(x)$ が $k$ 次の多項式関数（$k > 0$）ではないと仮定して矛盾を導く。

$N$ を十分大きい整数とする。

前の設定から $f(x)$ は十分大きい $x$ で単調に増加する。また多項式関数であるため，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$ である。よって $f(x) = N$ を満たす実数 $x_N$ が存在する。

同様に $f(x_{N+1}) = N+1, f(x_{N+2}) = N+2 , \cdots$ となるように $x_{N+1} < x_{N+2} < \cdots$ を定める。

仮定より $g(x_N), g(x_{N+1}) , \cdots$ は整数になる。

不等式の左辺に $x = x_N$，$y = x_{N+1}$ を代入すると $$\begin{aligned} &\dfrac{g(x_N) - g(x_{N+1})}{f(x_N) - f(x_{N+1})}\\ & = \dfrac{g(x_N) - g(x_{N+1})}{N+1-N}\\ & = g(x_N) - g(x_{N+1}) \end{aligned}$$ となる。

よって， $$0 \leqq | g(x_N)-g(x_{N+1}) | < 1$$ を得る。 さて，$g(x_N),g(x_{N+1})$ は整数であるため $g(x_N) - g(x_{N+1}) = 0$ である。

こうして $$g(x_N) = g(x_{N+1}) = \cdots$$ となる。

よって，$g(x_N) = c$ とおくと，$g(x) = c$ の解が無限にあることとなる。

今 $g(x) = c$ は $k$ 次方程式であるため解は高々 $k$ 個であるため矛盾する。

よって $g(x)$ は定数関数である。