微分を用いた不等式証明の問題

$$\begin{aligned} f'(x) &= \log\left(1+\dfrac{1}{x}\right)-\dfrac{2x+1}{2x(x+1)}\\ f''(x) &= \dfrac{1}{2(x^2+x)^2} \end{aligned}$$

よって，$f''(x) > 0$ より $f'(x)$ は単調増加。

また，$\displaystyle\lim_{x\to\infty}f'(x)=0$ なので $f'(x) < 0$ となる。

よって，$f(x)$ は単調減少する。

あとは $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x) \geqq 0$ を示せば良い。

実際，$x\to\infty$ で $\log\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\fallingdotseq \dfrac{1}{x}$ (注) より，

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=0$

$f(x)$ の二階微分は求めているので再右辺(の $4$ 倍)： $g(x)=\dfrac{1}{x(x+1)}$ の二階微分を計算する。

$$\begin{aligned} g'(x) &= -\dfrac{2x+1}{(x^2+x)^2}\\ g''(x) &= \dfrac{6x^2+6x+2}{(x^2+x)^{3}} \end{aligned}$$

よって，$(\text{最右辺}) - (\text{中辺})$： $h(x)=\dfrac{1}{4}g(x)-f(x)$ の二階微分は， $$\dfrac{(2x+1)^2+1}{4(x^2+x)^3} > 0$$ となる。

よって，$h''(x) > 0$ より $h'(x)$ は単調増加になる。

また，$\displaystyle\lim_{x\to\infty}h'(x)=0$ なので $h'(x) < 0$ である。

よって，$h(x)$ は単調減少になる。

あとは $\displaystyle\lim_{x\to\infty}h(x) \geqq 0$ を示せば良いが，

$$\lim_{x\to\infty}f(x) =\lim_{x\to\infty}g(x)= 0$$

なので，$\displaystyle\lim_{x\to\infty}h(x)=0$ となりOK。