微分を用いた不等式証明の問題

$f'(x)=\log\left(1+\dfrac{1}{x}\right)-\dfrac{2x+1}{2x(x+1)}$

$f''(x)=\dfrac{1}{2(x^2+x)^2}$

よって，$f''(x) > 0$ より $f'(x)$ は単調増加。

また，$\displaystyle\lim_{x\to\infty}f'(x)=0$ なので

$f'(x) <0$

よって，$f(x)$ は単調減少。

あとは $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x) \geq 0$ を示せば良い。

実際，$x\to\infty$ で $\log\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\fallingdotseq \dfrac{1}{x}$ (注)より，

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=0$

$f(x)$ の二階微分は求めているので再右辺(の $4$ 倍)： $g(x)=\dfrac{1}{x(x+1)}$ の二階微分を計算する。

$g'(x)=-\dfrac{2x+1}{(x^2+x)^2}$

$g''(x)=\dfrac{6x^2+6x+2}{(x^2+x)^{3}}$

よって，最右辺ー中辺： $h(x)=\dfrac{1}{4}g(x)-f(x)$ の二階微分は，

$\dfrac{(2x+1)^2+1}{4(x^2+x)^3} > 0$ となる。

よって，$h''(x) > 0$ より $h'(x)$ は単調増加。

また，$\displaystyle\lim_{x\to\infty}h'(x)=0$ なので

$h'(x) <0$

よって，$h(x)$ は単調減少。

あとは $\displaystyle\lim_{x\to\infty}h(x) \geq 0$ を示せば良いが，

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x) =\lim_{x\to\infty}g(x)= 0$

なので，$\displaystyle\lim_{x\to\infty}h(x)=0$

となりOK。

・左側の不等式を使う：

任意の自然数 $n$ に対して $f(n) > 0$ より，$b_n$ が単調減少となり，従って $a_n$ も単調減少であることが分かります。

・右側の不等式と部分分数分解を使う

$b_1-b_n\\ =(b_1-b_2)+(b_2-b_3)+(b_3-b_4)+\cdots (b_{n-1}-b_n)\\ =f(1)+f(2)+\cdots +f(n-1)\\ < \dfrac{1}{4}\{(1-\dfrac{1}{2})+(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3})+\cdots +(\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n})\}\\ < \dfrac{1}{4}$

これと $b_1=1$ より $b_n > \dfrac{3}{4}$

よって，$a_n > e^{\frac{3}{4}}$ となりスターリングの公式の証明が完了した。