連立漸化式の3通りの解き方

上の式より $b_n=a_{n+1}-3a_n$ （$b_{n+1}=a_{n+2}-3a_{n+1}$）なので，下の式に代入すると，

$$\begin{aligned} a_{n+2}-3a_{n+1}&=2a_n+2(a_{n+1}-3a_n)\\ a_{n+2}&=5a_{n+1}-4a_n \end{aligned}$$

この三項間漸化式を $a_1=2$，$a_2=3a_1+b_1=5$ のもとで解く（計算略，解き方は→三項間漸化式の3通りの解き方を参照） と， $$a_n=4^{n-1}+1$$ となる。

よって，

$$\begin{aligned} b_n&=a_{n+1}-3a_n\\ &=4^n+1-3(4^{n-1}+1)\\ &=4^{n-1}-2 \end{aligned}$$

$$a_{n+1}+kb_{n+1}=r(a_n+kb_n)$$ となる $k$，$r$ を求める。

左辺に与えられた漸化式を代入すると，

$$3a_n+b_n+2ka_n+2kb_n=ra_n+rkb_n$$

となる。係数を比較すると，$3+2k=r$，$1+2k=rk$ を得る。

この連立方程式を解くと，$(k,r)=(-1,1),\left( \dfrac{1}{2},4 \right)$ が得られる。

よって，

$$\begin{cases} a_{n+1} - b_{n+1} = a_n - a_n\\ a_{n+1} + \dfrac{1}{2} b_{n+1} = 4 \left( a_n + \dfrac{1}{2} b_n \right) \end{cases}$$

という漸化式を得る。

ぞれぞれ計算すると $$\begin{aligned} a_n-b_n&=a_{n-1}-b_{n-1}\\ &=\cdots \\ &=a_1-b_1\\ &=3\\ a_n+\frac{1}{2}b_n &= 4\left(a_{n-1}+\frac{1}{2}b_{n-1}\right)\\ &=\cdots \\ &=4^{n-1}\left(a_1+\frac{1}{2}b_1\right)\\ &=\frac{3\cdot 4^{n-1}}{2} \end{aligned}$$

こうして $$\begin{cases} a_n-b_n = 3\\ a_n+\dfrac{1}{2}b_n =\dfrac{3\cdot 4^{n-1}}{2} \end{cases}$$ となる。

この2式を $a_n$，$b_n$ について解くことで $$a_n=4^{n-1}+1, b_n=4^{n-1}-2$$ と分かる。

連立漸化式を行列の形で書くと，

$$\begin{pmatrix}a_{n+1}\\b_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&1\\2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}$$

よって，

$$\begin{pmatrix}a_{n}\\b_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&1\\2&2\end{pmatrix}^{n-1}\begin{pmatrix}a_1\\b_1\end{pmatrix}$$

これと， $$\begin{pmatrix}3&1\\2&2\end{pmatrix}^{n-1}=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}2\cdot 4^{n-1}+1&4^{n-1}-1\\2\cdot 4^{n-1}-2& 4^{n-1}+2\end{pmatrix}$$ であることから答えが求まる。

→ 行列のn乗の求め方と例題の例題参照