連立漸化式の3通りの解き方
連立漸化式:
の3通りの解き方を,例題を通じて解説します。
三項間漸化式に帰着させる方法
等比数列を作る方法
行列の 乗を用いる方法
三項間漸化式に帰着させる方法
, のいずれか片方を消去することで,三項間漸化式に帰着させます。自分は高校時代,この解法を使っていました。
, のもとで,連立漸化式
を解け。
等比数列を作る方法
が公比 の等比数列になるような , を求めることで解きます。
となる , を求める。左辺に与えられた漸化式を代入すると,
となる。係数を比較すると,,
この連立方程式を解くと,
よって,
この2式を , について解くと,
,
行列の 乗を用いる方法
高校数学範囲外ですが,行列を使うと綺麗に解けます。連立漸化式を解くということは行列の 乗を求めることに他なりません。この方法は,よりサイズが大きい連立漸化式にも簡単に拡張できます。
なお,行列の 乗と漸化式の関係については漸化式の特性方程式の意味とうまくいく理由もどうぞ。
連立漸化式は確率の問題でもときどき登場します。