三角形の面積にまつわる公式たち～京大特色2024を通して

$\mathrm{A} (0,8)$，$\mathrm{B} (3\sqrt{7},1)$，$\mathrm{C} (-3\sqrt{7},1)$ とおく。

外接円であることは，$(0,8)$，$(3\sqrt{7},1)$，$(-3\sqrt{7},1)$ が $x^2 + y^2 = 64$ を満たすことから従う。

内接円であることを示す。

円 $\mathrm{D}_2$ と直線 $\mathrm{AB}$，直線 $\mathrm{BC}$，直線 $\mathrm{CA}$ が接することを示せばよい。

それぞれ直線の方程式を計算すると $$\begin{aligned} \mathrm{AB} :\: & y = - \dfrac{\sqrt{7}}{3} x +8 \\ \mathrm{BC} :\: & y= 1\\ \mathrm{CA} :\: & y= \dfrac{\sqrt{7}}{3} x + 8 \end{aligned}$$ となる。

$\mathrm{AB}$ と $\mathrm{D}_2$ の式から $y$ を消去する。

$$\begin{aligned} x^2 + \left( \dfrac{\sqrt{7}}{3} x - 4 \right)^2 = 9\\ \dfrac{16}{9} x^2 - \dfrac{8}{3} \sqrt{7} x + 7 = 0\\ \left( \dfrac{4}{3} x - \sqrt{7} \right)^2 = 0 \end{aligned}$$ より，重解 $x = \dfrac{3}{4} \sqrt{7}$ を得る。ここから $y = \dfrac{25}{4}$ を得る。

こうして $\mathrm{AB}$ と $\mathrm{D}_2$ は接する。

他の直線と接することも同じように計算できる。

$\triangle \mathrm{ABC}$ の面積を $S$ とおく。

$s = \alpha + \beta + \gamma$ とおくと，ヘロンの公式より $$S = \sqrt{s\alpha \beta \gamma} \quad \cdots (1)$$ である。

内接円の半径と三角形の面積の関係から $$\dfrac{1}{2} \cdot 3 (\mathrm{AB} + \mathrm{BC} + \mathrm{CA}) = S$$ を得る。$\mathrm{AB} + \mathrm{BC} + \mathrm{CA} = 2s$ より $$3s = S \quad \cdots (2)$$ である。

$(1)$，$(2)$ より $$\begin{aligned} 9s^2 &= s\alpha \beta \gamma\\ 9s &= \alpha \beta \gamma \quad \cdots (3) \end{aligned}$$ となる。

外接円の半径と三角形の面積の関係から $$S = \dfrac{\mathrm{AB} \cdot \mathrm{BC} \cdot \mathrm{CA}}{4\cdot 8}$$ を得る。

$$\mathrm{AB} = \alpha + \beta\\ \mathrm{BC} = \beta + \gamma\\ \mathrm{CA} = \gamma + \alpha$$ を代入すると $$S =\dfrac{1}{32} (\alpha + \beta)(\beta + \gamma)(\gamma + \alpha) \quad \cdots (4)$$ を得る。

$(2)$，$(3)$ より $$3s = \dfrac{1}{32} (\alpha + \beta)(\beta + \gamma)(\gamma + \alpha)\\ 96 s = (\alpha + \beta)(\beta + \gamma)(\gamma + \alpha)$$ となる。両辺に $(3)$ を足すと $$\begin{aligned} 105 s &= (\alpha + \beta)(\beta + \gamma)(\gamma + \alpha) + \alpha\beta\gamma\\ &= (\alpha + \beta + \gamma) (\alpha\beta +\beta\gamma + \gamma \alpha)\\ &= s(\alpha\beta +\beta\gamma + \gamma \alpha) \end{aligned}$$ を得る。

両辺を $s$ で割ることで $\alpha\beta +\beta\gamma + \gamma \alpha = 105$ を得る。