京大2024大問6とチェビシェフ多項式

3倍角の公式より $$\cos 3\theta = 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta$$

2倍角の公式を2回用いると $$\begin{aligned} \cos 4 \theta &= 2 \cos^2 2\theta - 1\\ &= 2 (2\cos^2 \theta - 1)^2 - 1\\ &= 8 \cos^4 \theta - 8 \cos^2 \theta + 1 \end{aligned}$$

$\cos \theta = \dfrac{1}{p}$ のとき，$\theta = \dfrac{m}{n} \cdot \pi$ となるような正の整数 $m,n$が存在すると仮定する。

まず，$T_k (x)$ は $k$ 次多項式で最高次係数は $2^{k-1}$ であることを数学的帰納法により示す。

1. $k=1,2$ のとき
   $T_1 (x) = x = 2^{1-1} x^1$，$T_2 (x) = 2x^2 - 1 = 2^{2-1} x^2 - 1$ であるため，$k=1,2$ のとき成立する。

2. $k \geqq 2$ とし，$k \leqq l$ のとき成立を仮定する。
   このとき $$\begin{aligned} T_l &= 2^{l-1} x^l + (l-1\ \text{次多項式})\\ T_{l-1} &= 2^{l-2} x^{l-1} + (l-2\ \text{次多項式}) \end{aligned}$$ と表される。漸化式に代入して $$T_{l+1} (x) = 2^l x^{l+1} + (l\ \text{次多項式})$$ を得る。こうして $k = l+1$ のときも命題は成立することがわかる。

$\quad$

$\cos n\theta = \cos n \cdot \dfrac{m}{n} \pi = \cos m \pi = (-1)^{m}$ である。

チェビシェフ多項式の定義より $T_n (\cos \theta) = \cos n \theta = (-1)^m$ となる。

さて $$T_n (x) = 2^{n-1} x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$$ とおく。よって，

$T_n\left(\dfrac{1}{p}\right)=(-1)^m$ だが，これは方程式の有理数解の性質に矛盾する。もう少しきちんと書くと，以下の通り：

$x = \cos \theta = \dfrac{1}{p}$ を代入すると $$\dfrac{2^{n-1}}{p^n} + \dfrac{a_{n-1}}{p^{n-1}} + \cdots + a_0 = (-1)^m$$ である。辺々に $p^n$ を掛けて整理すると $$2^{n-1} = a_{n-1} p + \cdots + a_0 p^n + (-1)^m p^n$$ である。

右辺は $p$ の倍数だが，左辺は $p$ の倍数でないため矛盾。つまり，背理法により $\cos \theta = \dfrac{1}{p}$ のとき，$\theta = \dfrac{m}{n} \cdot \pi$ となるような正の整数 $m,n$　は存在しない。