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必要条件,十分条件の覚え方といろいろな例題

更新日時 2021/03/07

「必要条件」「十分条件」「必要十分条件」について,基礎からわかりやすく解説します。

目次
  • 必要条件,十分条件とは

  • 必要条件と十分条件の覚え方

  • 必要十分条件とは

  • 必要条件と十分条件を判定する例題

  • 必要条件と十分条件を判定する方法

  • 英語

必要条件,十分条件とは

PP が成立するならば,QQ も成立する」とき,

  • QQPP必要条件 である,と言います。
  • PP QQ十分条件 である,と言います。
例1

「年収1000万以上」ならば確実に 「年収500万以上」です。つまり,

  • 「年収500万以上」「年収1000万以上」必要条件 です。
  • 「年収1000万以上」「年収500万以上」十分条件 です。
例2

x=2x=2ならば xx は偶数」です。つまり,

  • xx は偶数」x=2x=2必要条件 です。
  • x=2x=2xx は偶数」十分条件 です。

必要条件と十分条件の覚え方

PP ならば QQ」のとき,どちらが必要条件で,どちらが十分条件だっけ…? と困らないように,必要条件と十分条件の覚え方を3つ紹介します。一番しっくりくる方法で覚えてください。

覚え方1. 「必要」と「十分」の意味で覚える

  • PP ならば QQ
    →「PP が成り立つには QQ が必要
    QQ が必要条件

  • PP ならば QQ
    →「QQ が成り立つためには PP が成り立てば十分
    PP が十分条件

例1の場合

「年収1000万以上」ならば「年収500万以上」だが,

  • 「1000万以上」には 「500万以上」が必要
    「500万以上」が必要条件
  • 「500万以上」のためには「1000万以上」なら十分
    「1000万以上」が十分条件

覚え方2.「矢印の先が必要条件」

PP ならば QQ」を矢印を使って「PQP\to Q」と書いたとき,矢印の先が必要条件と覚えます。

必要条件,十分条件

覚え方3.「包含関係で大きいほうが必要条件」

PP ならば QQ」をベン図(包含関係)で表すと,PPQQ に含まれる図になります。図で大きい方が必要条件と覚えます。

必要条件,十分条件

必要十分条件とは

必要条件でもあり,十分条件でもあるとき,必要十分条件と言います。

つまり,「PP ならば QQ」と「QQ ならば PP」が両方成立するとき,

  • PPQQ の必要十分条件」と言います。
  • QQPP の必要十分条件」とも言います。
  • PPQQ は同値である」とも言います。

例えばサイコロを1個ふって出た目を xx とするとき「xx が偶数」は「xx2,4,62,4,6 のいずれか」の必要十分条件です。

必要条件と十分条件を判定する例題

必要条件・十分条件に関する例題を解いてみます。以下のそれぞれについて,PPQQ のどのような条件になっているでしょうか?

例題1
  • P:x=3P:x=3
  • Q:xQ:x は奇数

必要条件と十分条件の例題

  • x=3x=3 ならば xx は奇数である
  • xx が奇数だからといって,x=3x=3 とは限らない。(反例:x=5x=5

よって,PPQQ の十分条件だが,必要条件ではない。

例題2
  • P:x24x=0P:x^2-4x=0
  • Q:x2+x=0Q:x^2+x=0
  • x24x=0    x=0x^2-4x=0\iff x=0 または x=4x=4
  • x2+x=0    x=0x^2+x=0\iff x=0 または x=1x=-1

なので,

  • PP ならば QQ」は成立しない(反例:x=4x=4
  • QQ ならば PP」も成立しない(反例:x=1x=-1

よって,PPQQ の必要条件でも十分条件でもない。

例題3

三角形 ABCABC の各辺 BC,CA,ABBC,CA,AB 上に点 D,E,FD,E,F があるもとで,

  • P:AD,BE,CFP:AD,BE,CF が一点で交わる
  • Q:AFFBBDDCCEEA=1Q:\dfrac{AF}{FB}\dfrac{BD}{DC}\dfrac{CE}{EA}=1
  • PP ならば QQ」は成立(チェバの定理
  • QQ ならば PP」も成立(チェバの定理の逆)

よって,PPQQ の必要十分条件である。

例題4
  • PP :関数 f(x)f(x)x=ax=a で連続
  • QQ :関数 f(x)f(x)x=ax=a で微分可能

詳細は関数の連続性と微分可能性の意味と関係で解説しています。

  • PP ならば QQ」は成立しない(反例:f(x)=x,a=0f(x)=|x|,a=0
  • QQ ならば PP」は成立する(有名で重要な事実)

よって,PPQQ の必要条件だが,十分条件ではない。

必要条件と十分条件を判定する方法

上記では「PPQQ の必要条件か十分条件かを判定する問題」を解きました。このような問題では,

  • PP ならば QQ
  • QQ ならば PP

それぞれ成立するのかしないのかを判定する必要があります。 そして,「 AA ならば BB」が成立するか判定するには,以下のいずれかをやる必要があります。

  • PP ならば QQ」が成立することを証明(簡単な説明)する
  • PP なのに QQ でない例(反例)を挙げる

英語

  • 必要条件は英語で necessary condition と言います。

  • 十分条件は英語で sufficient condition と言います。

  • 必要十分条件は,necessary and sufficient condition と言うこともありますが,以下のようにいろいろな表現があります。

    • PP if and only if QQ
      「もし QQ ならば,そしてそのときに限り PP」という意味です。
    • PP iff QQ
    • P    QP\iff Q

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