必要条件と十分条件の意味・3つの覚え方・例題

「$P$ ならば $Q$ が成立する」が真であるとき，

• $Q$ は$P$の 必要条件 である，と言います。
• $P$ は$Q$の 十分条件 である，と言います。

必要条件・十分条件は，数学のどの分野でも登場する，非常に重要な考え方です。

※様々な論証の方法については 集合，命題，論証 にまとめてあります。

「$P$ ならば $Q$」のとき，どちらが必要条件で，どちらが十分条件だっけ…？　と困らないように，必要条件と十分条件の覚え方を3つ紹介します。一番しっくりくる方法で覚えてください。

覚え方1. 「必要」と「十分」の意味で覚える

• 「$P$ ならば $Q$」
  →「$P$ が成り立つには $Q$ が必要」
  → $Q$ が必要条件

• 「$P$ ならば $Q$」
  →「$Q$ が成り立つためには $P$ が成り立てば十分」
  → $P$ が十分条件

覚え方2．「矢印の先が必要条件」

「$P$ ならば $Q$」を矢印を使って「$P\to Q$」と書いたとき，矢印の先が必要条件と覚えます。

左から順に「じゅうよう」と語呂で覚えても良いでしょう。

覚え方3.「包含関係でイメージ：大きいほうが必要条件」

「$P$ ならば $Q$」をベン図（包含関係）で表すと，$P$ が $Q$ に含まれる図になります。図で大きい方が必要条件と覚えます。

集合については以下の記事もおすすめです。

• 集合の記号の意味まとめ

• 補集合の定義と具体例・問題例

必要条件でもあり，十分条件でもあるとき，必要十分条件と言います。

つまり，「$P$ ならば $Q$」と「$Q$ ならば $P$」が両方成立するとき，

• 「$P$ は $Q$ の必要十分条件」と言います。
• 「$Q$ は $P$ の必要十分条件」とも言います。
• 「$P$ と $Q$ は同値である」とも言います。

例えばサイコロを1個ふって出た目を $x$ とするとき「$x$ が偶数」は「$x$ が $2,4,6$ のいずれか」の必要十分条件です。

必要条件・十分条件に関する例題を解いてみます。以下のそれぞれについて，$P$ は $Q$ のどのような条件になっているでしょうか？

• $x=3$ ならば $x$ は奇数である
• $x$ が奇数だからといって，$x=3$ とは限らない。（反例：$x=5$）

よって，$P$ は $Q$ の十分条件だが，必要条件ではない。

• $x^2-4x=0\iff x=0$ または $x=4$，
• $x^2+x=0\iff x=0$ または $x=-1$

なので，

• 「$P$ ならば $Q$」は成立しない（反例：$x=4$）
• 「$Q$ ならば $P$」も成立しない（反例：$x=-1$）

よって，$P$ は $Q$ の必要条件でも十分条件でもない。

• 「$P$ ならば $Q$」は成立（チェバの定理）
• 「$Q$ ならば $P$」も成立（チェバの定理の逆）

よって，$P$ は $Q$ の必要十分条件である。

詳細は関数の連続性と微分可能性の意味と関係で解説しています。

• 「$P$ ならば $Q$」は成立しない（反例：$f(x)=|x|,a=0$）
• 「$Q$ ならば $P$」は成立する（有名で重要な事実）

よって，$P$ は $Q$ の必要条件だが，十分条件ではない。

上記では「$P$ が $Q$ の必要条件か十分条件かを判定する問題」を解きました。このような問題では，

• 「$P$ ならば $Q$」
• 「$Q$ ならば $P$」

がそれぞれ成立するのかしないのかを判定する必要があります。 そして，「$A$ ならば $B$」が成立するか判定するには，以下のいずれかをやる必要があります。

• 「$P$ ならば $Q$」が成立することを証明（簡単な説明）する
• $P$ なのに $Q$ でない例（反例）を挙げる

必要条件と十分条件について，下図のような見分け方の表を作ることができます。問題を解く際の参考にしてください。

• 必要条件は英語で necessary condition と言います。

• 十分条件は英語で sufficient condition と言います。

• 必要十分条件は，necessary and sufficient condition と言うこともありますが，以下のようにいろいろな表現があります。

  • $P$ if and only if $Q$
    「もし $Q$ ならば，そしてそのときに限り $P$」という意味です。
  • $P$ iff $Q$
  • $P\iff Q$

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