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必要条件,十分条件の覚え方といろいろな例題

更新日時 2021/03/07

「必要条件」「十分条件」「必要十分条件」について,基礎からわかりやすく解説します。

目次
  • 必要条件,十分条件とは

  • 必要条件と十分条件の覚え方

  • 必要十分条件とは

  • 必要条件と十分条件を判定する方法

  • 必要条件と十分条件を判定する例題

  • 英語

必要条件,十分条件とは

ある条件 AA が成立するならば, 別の条件 BB も成立する」とき,

  • 条件 BB条件 AA 必要条件 である,と言います。

  • 条件 AA 条件 BB十分条件 である,と言います。

例えば,「年収1000万以上」ならば確実に 「年収500万以上」です。つまり,

  • 「年収500万以上」「年収1000万以上」必要条件 です。

  • 「年収1000万以上」「年収500万以上」十分条件 です。

例えば,x=2x=2ならば xx は偶数」です。つまり,

  • xx は偶数」x=2x=2必要条件 です。

-x=2x=2xx は偶数」十分条件 です。

必要条件と十分条件の覚え方

AA ならば BB 」のとき,どちらが必要条件で,どちらが十分条件だっけ…? と困らないように,必要条件と十分条件の覚え方を3つ紹介します。一番しっくりくる方法で覚えてください。

覚え方1. 「必要」と「十分」の意味で覚える:

AA ならば BB 」→「 AA が成り立つには BB が必要

AA ならば BB 」→「 BB が成り立つためには AA が成り立てば十分

例.「年収1000万以上」ならば「年収500万以上」だが,

「1000万以上」には 「500万以上」が必要

「500万以上」のためには「1000万以上」なら十分

必要条件,十分条件

覚え方2.「矢印の先が必要条件」と覚える

AA ならば BB 」を矢印を使って「 ABA\to B 」と書いたとき,「矢印の先である BB が必要条件」と覚えます。

覚え方3.「包含関係で大きいほうが必要条件」と覚える

AA ならば BB 」をベン図(包含関係)で表すと,AABB に含まれる図になります。図で「大きい方である BB が必要条件」と覚えます。

必要十分条件とは

必要条件でもあり,十分条件でもあるとき,必要十分条件と言います。

つまり,「 AA ならば BB 」と「 BB ならば AA 」が両方成立するとき,

  • AABB の必要十分条件と言います。

  • BBAA の必要十分条件とも言います。

AABB は同値である」とも言います。

必要条件と十分条件を判定する方法

AABB の必要条件か十分条件かを判定させる問題を解くには,

AA ならば BB

BB ならば AA

それぞれ成立するのかしないのかを判定する必要があります。 そして,「 AA ならば BB 」が成立するか判定するには以下のいずれかをやる必要があります。

  • AA ならば BB」が成立することを証明(簡単な説明)する

  • AA なのに BB でない例(反例)を挙げる

必要条件と十分条件を判定する例題

以上を踏まえて,必要条件,十分条件に関するいろいろな例題をやってみます。

以下のそれぞれに対して PPQQ のどのような条件になっているか判定する問題を考えます。

例題1

P:x=3P:x=3Q:xQ:x は奇数

必要条件と十分条件の例題

  • x=3x=3 ならば xx は奇数である
  • xx が奇数だからといって,x=3x=3 とは限らない。(反例:x=5x=5

よって,PPQQ の十分条件だが,必要条件ではない。

例題2

P:x24x=0P:x^2-4x=0Q:x2+x=0Q:x^2+x=0

x24x=0    x=0x^2-4x=0\iff x=0 または x=4x=4

x2+x=0    x=0x^2+x=0\iff x=0 または x=1x=-1 なので,

  • PP ならば QQ」は成立しない(反例:x=4x=4
  • QQ ならば PP」も成立しない(反例:x=1x=-1

よって,PPQQ の必要条件でも十分条件でもない。

例題3

三角形 ABCABC の各辺 BC,CA,ABBC,CA,AB 上に点 D,E,FD,E,F があるもとで,

P:AD,BE,CFP:AD,BE,CF が一点で交わる

Q:AFFBBDDCCEEA=1Q:\dfrac{AF}{FB}\dfrac{BD}{DC}\dfrac{CE}{EA}=1

  • PP ならば QQ」は成立(チェバの定理
  • QQ ならば PP」も成立(チェバの定理の逆)

よって,PPQQ の必要十分条件である。

例題4

PP :関数 f(x)f(x)x=ax=a で連続

QQ :関数 f(x)f(x)x=ax=a で微分可能

  • PP ならば QQ」は成立しない(反例:f(x)=x,a=0f(x)=|x|,a=0
  • QQ ならば PP」は成立する(有名で重要な事実)

よって,PPQQ の必要条件だが,十分条件ではない。

英語

必要条件は英語で necessary condition と言います。

十分条件は英語で sufficient condition と言います。

必要十分条件は,necessary and sufficient condition と言うこともありますが,

AA if and only if BB

AA iff BB

A    BA\iff B

などと書くこともあります。「もし BB ならば,そしてそのときに限り AA 」という意味です。

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