このガウス記号がついた極限が解けません。。

ガウス記号の極限は、はさみうちの原理を用いて導くことが多いです。

$$[\sqrt{x+x^{2}}]\leqq\sqrt{x+x^{2}}<[\sqrt{x+x^{2}}]+1$$

よって

$$\sqrt{x+x^{2}}-1<[\sqrt{x+x^{2}}]\leqq\sqrt{x+x^{2}}$$

ここで、今回は$x\to\infty$なので$x>0$を考えて

$$\dfrac{\sqrt{x+x^{2}}-1-\sqrt{x}}{x}<\dfrac{[\sqrt{x+x^{2}}]-\sqrt{x}}{x}\leqq\dfrac{\sqrt{x+x^{2}}-\sqrt{x}}{x}$$

ここで、一番左の極限をとると、

$$\begin{aligned}\lim_{x\to\infty}\dfrac{\sqrt{x+x^{2}}-\sqrt{x}}{x}&=\lim_{x\to\infty}\Bigl(\sqrt{\dfrac{1}{x}+1}-\sqrt{\dfrac{1}{x}}\Bigr)\\&=1\end{aligned}$$

次に、一番右側の極限は、

$$\begin{aligned}\lim_{x\to\infty}\dfrac{[\sqrt{x+x^{2}}]-\sqrt{x}-1}{x}&=\lim_{x\to\infty}\Bigl(\sqrt{\dfrac{1}{x}+1}-\sqrt{\dfrac{1}{x}}-\dfrac{1}{x}\Bigr)\\&=1\end{aligned}$$

よって、はさみうちの原理により

$$\lim_{x\to\infty}\dfrac{[\sqrt{x+x^{2}}]-\sqrt{x}}{x}=1$$