• 解決済み

    @konoyonoowari

    2021/3/21 18:39

    1 回答

    このガウス記号がついた極限が解けません。。


    どなたか解答お願いします...！🙇‍♂️

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    @benbentaro

    2021/3/21 19:09

    ガウス記号の極限は、はさみうちの原理を用いて導くことが多いです。


    [x+x2]≦x+x2<[x+x2]+1[\sqrt{x+x^{2}}]\leqq\sqrt{x+x^{2}}<[\sqrt{x+x^{2}}]+1


    よって


    x+x2−1<[x+x2]≦x+x2\sqrt{x+x^{2}}-1<[\sqrt{x+x^{2}}]\leqq\sqrt{x+x^{2}}


    ここで、今回はx→∞x\to\inftyなのでx>0x>0を考えて


    x+x2−1−xx<[x+x2]−xx≦x+x2−xx\dfrac{\sqrt{x+x^{2}}-1-\sqrt{x}}{x}<\dfrac{[\sqrt{x+x^{2}}]-\sqrt{x}}{x}\leqq\dfrac{\sqrt{x+x^{2}}-\sqrt{x}}{x}


    ここで、一番左の極限をとると、


    lim⁡x→∞x+x2−xx=lim⁡x→∞(1x+1−1x)=1\begin{aligned}\lim_{x\to\infty}\dfrac{\sqrt{x+x^{2}}-\sqrt{x}}{x}&=\lim_{x\to\infty}\Bigl(\sqrt{\dfrac{1}{x}+1}-\sqrt{\dfrac{1}{x}}\Bigr)\\&=1\end{aligned}


    次に、一番右側の極限は、


    lim⁡x→∞[x+x2]−x−1x=lim⁡x→∞(1x+1−1x−1x)=1\begin{aligned}\lim_{x\to\infty}\dfrac{[\sqrt{x+x^{2}}]-\sqrt{x}-1}{x}&=\lim_{x\to\infty}\Bigl(\sqrt{\dfrac{1}{x}+1}-\sqrt{\dfrac{1}{x}}-\dfrac{1}{x}\Bigr)\\&=1\end{aligned}


    よって、はさみうちの原理により


    lim⁡x→∞[x+x2]−xx=1\lim_{x\to\infty}\dfrac{[\sqrt{x+x^{2}}]-\sqrt{x}}{x}=1

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    すごいです...！🙌

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