解決済み @konoyonoowari 2021/3/21 18:39 1 回答 このガウス記号がついた極限が解けません。。どなたか解答お願いします...!🙇♂️ 高校生数学数学Ⅲ 5 ベストアンサー @benbentaro 2021/3/21 19:09 ガウス記号の極限は、はさみうちの原理を用いて導くことが多いです。[x+x2]≦x+x2<[x+x2]+1[\sqrt{x+x^{2}}]\leqq\sqrt{x+x^{2}}<[\sqrt{x+x^{2}}]+1[x+x2]≦x+x2<[x+x2]+1よってx+x2−1<[x+x2]≦x+x2\sqrt{x+x^{2}}-1<[\sqrt{x+x^{2}}]\leqq\sqrt{x+x^{2}}x+x2−1<[x+x2]≦x+x2ここで、今回はx→∞x\to\inftyx→∞なのでx>0x>0x>0を考えてx+x2−1−xx<[x+x2]−xx≦x+x2−xx\dfrac{\sqrt{x+x^{2}}-1-\sqrt{x}}{x}<\dfrac{[\sqrt{x+x^{2}}]-\sqrt{x}}{x}\leqq\dfrac{\sqrt{x+x^{2}}-\sqrt{x}}{x}xx+x2−1−x<x[x+x2]−x≦xx+x2−xここで、一番左の極限をとると、limx→∞x+x2−xx=limx→∞(1x+1−1x)=1\begin{aligned}\lim_{x\to\infty}\dfrac{\sqrt{x+x^{2}}-\sqrt{x}}{x}&=\lim_{x\to\infty}\Bigl(\sqrt{\dfrac{1}{x}+1}-\sqrt{\dfrac{1}{x}}\Bigr)\\&=1\end{aligned}x→∞limxx+x2−x=x→∞lim(x1+1−x1)=1次に、一番右側の極限は、limx→∞[x+x2]−x−1x=limx→∞(1x+1−1x−1x)=1\begin{aligned}\lim_{x\to\infty}\dfrac{[\sqrt{x+x^{2}}]-\sqrt{x}-1}{x}&=\lim_{x\to\infty}\Bigl(\sqrt{\dfrac{1}{x}+1}-\sqrt{\dfrac{1}{x}}-\dfrac{1}{x}\Bigr)\\&=1\end{aligned}x→∞limx[x+x2]−x−1=x→∞lim(x1+1−x1−x1)=1よって、はさみうちの原理によりlimx→∞[x+x2]−xx=1\lim_{x\to\infty}\dfrac{[\sqrt{x+x^{2}}]-\sqrt{x}}{x}=1x→∞limx[x+x2]−x=1 17 質問者からのお礼コメント すごいです...!🙌 シェアしよう! そのほかの回答(0件)
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