微分と極限の交換

更新 2023/12/02

この記事では，微分と極限の交換についての例や定理を見ていきます。

定理（一様収束するなら微分と極限は交換できる）

$\{ f_n \}$ は $[a,b]$ 上の微分可能な関数列で $f$ に収束

かつ

$\{f'_n\}$ は $[a,b]$ 上で一様収束

ならば， $\displaystyle \lim_{n \to \infty} {f_n}' (x) = f'(x)$ となる。つまり，微分と極限が交換できる。

※一様収束の意味は，→各点収束と一様収束の違いと具体例

例

交換できる例[−12,12]\left[ - \dfrac{1}{2} , \dfrac{1}{2} \right][−21​,21​] 上の関数
fn(x)=x+12x2+⋯+1nxn
f_n (x) = x + \dfrac{1}{2} x^2 + \cdots + \dfrac{1}{n} x^nfn​(x)=x+21​x2+⋯+n1​xn
を考えます。これは，
f(x)=−log⁡(1−x)f (x) = -\log (1-x)f(x)=−log(1−x)
に収束します（対数関数のマクローリン展開）。
そして，fn′(x)=1+x+⋯+xn−1f'_n(x)=1+x+\cdots+x^{n-1}fn′​(x)=1+x+⋯+xn−1 は，f′(x)=11−xf'(x)=\dfrac{1}{1-x}f′(x)=1−x1​ に一様収束します。これは，
∣fn′(x)−f′(x)∣=∣xn1−x∣
\left| {f_n}' (x) - f'(x) \right| = \left| \dfrac{x^{n}}{1-x} \right|
∣∣​fn​′(x)−f′(x)∣∣​=∣∣​1−xxn​∣∣​
からわかります。つまり，
lim⁡n→∞fn′(x)=f′(x)\displaystyle \lim_{n \to \infty} {f_n}' (x) = f'(x)n→∞lim​fn​′(x)=f′(x)
です。
交換できない例元の関数列は収束するが，導関数の列は（一様）収束しない例を考えてみましょう。
[−π,π][-\pi , \pi][−π,π] 上の関数
fn(x)=1nsin⁡(n2x)
f_n (x) = \dfrac{1}{n} \sin (n^2 x)
fn​(x)=n1​sin(n2x)
を考えます。
f(x)=0f(x) = 0f(x)=0 とすると，各 c∈[−π,π]c \in [-\pi , \pi]c∈[−π,π] で lim⁡n→∞fn(c)=f(c)\displaystyle \lim_{n \to \infty} f_n (c) = f(c)n→∞lim​fn​(c)=f(c) となります。
一方，導関数については
fn′(x)=ncos⁡(n2x)f′(x)=0
{f_n}' (x) = n \cos (n^2 x)\\
f'(x) = 0
fn​′(x)=ncos(n2x)f′(x)=0
となります。
よって
lim⁡n→∞fn′(x)=∞≠0=f′(x)
\lim_{n \to \infty} {f_n} ' (x) = \infty \neq 0 = f'(x)
n→∞lim​fn​′(x)=∞=0=f′(x)
となってしまいます。

定理の条件を満たさないが交換できる例

この定理は十分条件を述べていますが必要条件ではありません。導関数列が一様収束しないが，微分と極限が交換できる例もあります。
関数列 fn=(nx)2e−nxf_n = (n x)^2 e^{-nx}fn​=(nx)2e−nx を考えてみます（定義域は正の実数全体とします）。
lim⁡n→∞fn=0\displaystyle \lim_{n \to \infty} f_n = 0n→∞lim​fn​=0 です。そのため f′(x)=0f' (x) = 0f′(x)=0 です。
また，fn′(x)=2n2xe−nx−(nx)2e−nxf'_n (x) = 2n^2x e^{-nx} - (nx)^2e^{-nx}fn′​(x)=2n2xe−nx−(nx)2e−nx より lim⁡n→∞fn′(x)=0\displaystyle \lim_{n \to \infty} f'_n (x) = 0n→∞lim​fn′​(x)=0 です。
しかし，fn′f'_nfn′​ は一様収束しません。実際下図を見ると「とんがり」があるため，一様収束しないこと分かります。
このように fn′f'_nfn′​ が一様収束しなくても，微分と極限が交換できることがあります。

定理の証明

「一様収束 → 積分と極限が交換できる」ことを利用します。

証明

$c \in [a,b]$ を任意に取る。

$f_n (x) = f_n (c) + \int_c^x f'_n (t) dt$

である。

$\{ {f_n}' \}$ が一様収束することから，積分と極限を交換できるので， $\begin{aligned} & \lim_{n \to \infty} f_n (x)\\ &= \lim_{n \to \infty} \left( f_n (c) + \int_c^x f'_n (t) dt \right)\\ &= f (c) + \int_c^x \lim_{n \to \infty} {f'}_n (t) dt \end{aligned}$ となる。

両辺を $x$ で微分することで $\dfrac{d}{dx} \lim_{n \to \infty} f_n (x) = \lim_{n \to \infty} {f'}_n (x)$ を得る。

上の証明から， $f_n$ が $f$ に収束する必要はなく， $\text{ある} \ c \in [a,b] \ \text{で} \ \lim_{n \to \infty} f_n (c) = f(c)$ さえ成立すれば十分となります。

微分と極限の交換はあまり登場しません。というのもルベーグ積分の方法では微分が定義しにくいからです。