リーマン積分 VS ルベーグ積分
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ルベーグ積分値とリーマン積分値は同じ
ルベーグ積分値とリーマン積分値は同じ
ルベーグ積分を実際に運用していく際は,リーマン積分と同じように計算できることが多いです。
を 上の有界な連続関数とする。このとき,リーマン積分可能であれば,リーマン積分の値とルベーグ積分の値は一致する。
リーマン積分とルベーグ積分を区別するため,リーマン積分は ,ルベーグ積分は で表記します。
分割 を で,各 に対して, となるように定める。
, とおく。
とする。
はリーマン積分可能であるため, となる。
は有界であるため, は最大値 を持つ。
に対して,ルベーグ可積分な優関数 を取れる。ルベーグの収束定理を用いると, となる。
各点で は に収束するため となる。
ルベーグ積分はできるが,リーマン積分はできない例
ルベーグ積分はできるが,リーマン積分はできない例
ディリクレ関数とは,有理数では ,無理数では となる関数です。
積分 を考えます。
リーマン積分
リーマン積分から引用します。
の分割 に対して とおく。
どのように区間 を小さく取っても は有理数,無理数両方を含む。(→有理数と無理数の稠密性)
よって , である。ゆえに である。
よって, となり,リーマン可積分ではない。
ルベーグ積分
と表されるため となる。
ここで の測度は であったため, である。こうして
広義リーマン積分はできるが,ルベーグ積分はできない例
広義リーマン積分はできるが,ルベーグ積分はできない例
リーマン可積分であれば,ルベーグ可積分です。
しかし,広義リーマン積分になると,ルベーグ積分を飛び出ることがあります。そのような例である
sinc 関数(シンク関数)の積分(ディリクレ積分)
を考えます。
広義リーマン積分
留数定理を用いた三角関数の積分 で証明していますが, となります。
ルベーグ積分
ルベーグ積分の立場では で定義されます。 実は右辺は2項とも発散しており,ルベーグ可積分ではありません。これを確認してみましょう。
となる。同様に となり, という不定形になる。
こうしてルベーグ積分はできない。
広義リーマン積分とルベーグ積分を共に含むさらに大きな積分論に「ヘンストック=クルツヴァイル積分」というものがあります。