リーマン積分 VS ルベーグ積分

分割 $\Delta_n$ を $$\Delta_n : a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_{2^n} = b$$ で，各 $i$ に対して，$x_{i+1} - x_i = \dfrac{b-a}{2^n}$ となるように定める。

$\displaystyle M_k = \max_{x \in [x_k , x_{k+1}]} f (x)$，$\displaystyle m_k = \min_{x \in [x_k , x_{k+1}]} f (x)$ とおく。

$$f_{M,n} (x) = \sum_{k=0}^{2^n-1} M_k \chi_{[x_k, x_{k+1}]} (x)\\ f_{m,n} (x) = \sum_{k=0}^{2^n-1} m_k \chi_{[x_k,x_{k+1}]} (x)$$ とする。

$f$ はリーマン積分可能であるため， $$\begin{aligned} \int_a^b f(x) dx &= \lim_{n \to \infty} \int_{[a,b]} f_{M,n} (x) dx\\ &= \lim_{n \to \infty} \int_{[a,b]} f_{m,n} (x) dx \end{aligned}$$ となる。

$f$ は有界であるため，$|f|$ は最大値 $A$ を持つ。

$f_{M,n} , f_{m,n}$ に対して，ルベーグ可積分な優関数 $$g(x) = \begin{cases} A &(a \leqq x \leqq b)\\ 0 &(\text{その他}) \end{cases}$$ を取れる。ルベーグの収束定理を用いると， $$\begin{aligned} \int_{[a,b]} \lim_{n \to \infty} f_{M,n} (x) dx &= \lim_{n \to \infty} \int_{[a,b]} f_{M,n} (x) dx\\ \int_{[a,b]} \lim_{n \to \infty} f_{m,n} (x) dx &= \lim_{n \to \infty} \int_{[a,b]} f_{m,n} (x) dx \end{aligned}$$ となる。

各点で $f_{M,n},f_{m,n}$ は $f$ に収束するため $$\begin{aligned} \int_{[a,b]} f(x) dx &= \int_{[a,b]} \lim_{n \to \infty} f_{m,n} (x) dx\\ &= \lim_{n \to \infty} \int_{[a,b]} f_{m,n} (x) dx\\ &= \int_a^b f(x) dx \end{aligned}$$ となる。

$[0,1]$ の分割 $\Delta$ に対して $I_k = [x_{k-1} , x_k]$ とおく。

どのように区間 $I_k$ を小さく取っても $I_k$ は有理数，無理数両方を含む。（→有理数と無理数の稠密性）

よって $M_k = 1$，$m_k = 0$ である。ゆえに $$\begin{aligned} S_{\Delta,M} &= \sum_{k=1}^n M_k (x_k - x_{k-1})\\ &= \sum_{k=1}^n (x_k - x_{k-1})\\ &= 1\\ S_{\Delta,m} &= \sum_{k=1}^n m_k (x_k - x_{k-1})\\ &= 0 \end{aligned}$$ である。

よって， $$\lim_{|\Delta| \to 0} S_{\Delta,M} = 1 \neq 0 = \lim_{|\Delta| \to 0} S_{\Delta,m}$$ となり，リーマン可積分ではない。

$f (x) = \chi_{\mathbb{Q}} (x)$ と表されるため $$\int_0^1 f(x) dx = \mu (\mathbb{Q} \cap [0,1])$$ となる。

ここで $\mathbb{Q}$ の測度は $0$ であったため，$\mu (\mathbb{Q} \cap [0,1]) = 0$ である。こうして $$\int_0^1 f(x) dx = 0$$

$$\begin{aligned} \int_0^{\infty} \left( \dfrac{\sin x}{x} \right)_+ dx &= \sum_{n=0}^{\infty} \int_{2\pi n}^{2\pi n + \pi} \dfrac{\sin x}{x} dx\\ &\geqq \sum_{n=0}^{\infty} \int_{2\pi n}^{2\pi n + \pi} \dfrac{\sin x}{2\pi n + \pi} dx\\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{2}{\pi (2n+1)}\\ &= \infty \end{aligned}$$ となる。同様に $$\int_0^{\infty} \left( \dfrac{\sin x}{x} \right)_- dx = \infty$$ となり， $$\int_{0}^{\infty} \dfrac{\sin x}{x} dx = \infty - \infty$$ という不定形になる。

こうしてルベーグ積分はできない。