楕円積分の意味と身近な4つの例

楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\:(a>b>0)$ の周の長さを計算する。$x=a\sin\theta,y=b\cos\theta$ と媒介変数表示すると，$0\leq\theta\leq \phi$ の部分の長さは，

$$\begin{aligned} &\int_{0}^{\phi} \sqrt{(a\cos\theta)^2 + (-b\sin\theta)^2} d\theta\\ &= a \int_0^{\phi} \sqrt{(1-\sin^2\theta)+\dfrac{b^2}{a^2} \sin^2\theta} d\theta\\ &= a \int_0^{\phi} \sqrt{1-\dfrac{(a^2-b^2)}{a^2} \sin^2\theta} d \theta\\ &= a E \left( \dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a} , \phi \right) \end{aligned}$$

特に，楕円全体の長さは $4aE\left(\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a},\dfrac{\pi}{2}\right)$

$y=a\sin x$ の $x=0$ から $x=\phi$ までの長さは，

$$\begin{aligned} &\int_0^{\phi}\sqrt{1+a^2\cos^2x} dx\\ &= \int_0^{\phi} \sqrt{1+a^2(1-\sin^2x)} dx\\ &= \sqrt{a^2+1} \int_0^{\phi} \sqrt{1-\dfrac{a^2}{a^2+1}\sin^2x} dx\\ &= \sqrt{a^2+1} \: E \left( \dfrac{|a|}{\sqrt{a^2+1}} , \phi \right) \end{aligned}$$

単振り子の周期は，

$$4\sqrt{\dfrac{l}{g}}\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{d\theta}{\sqrt{1-\sin^2\frac{\theta_0}{2}\sin^2\theta}}$$

となる（詳細は単振り子の周期（近似解と厳密解の比較） ）。ただし，$l$ は振り子の長さ，$g$ は重力加速度，$\theta_0$ は最大角。

これは，$4\sqrt{\dfrac{l}{g}}F\left(\sin\dfrac{\theta_0}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$ であり第一種楕円積分で表せる。

極座標版の弧長積分の公式で計算すると，レムニスケートの長さは

$$L=4 \int_0^1\dfrac{dr}{\sqrt{1-r^4}}$$

（計算の詳細は算術幾何平均とレムニスケートの長さ）

$r=\cos\theta$ とおくと，$\dfrac{dr}{d\theta}=-\sin\theta=-\sqrt{1-r^2}$ より，

$$\begin{aligned} L&= 4 \int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{d\theta}{\sqrt{1+\cos^2\theta}}\\ &= 2\sqrt{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{d\theta}{\sqrt{1-\dfrac{1}{2}\sin^2\theta}}\\ &= 2\sqrt{2}F\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{\pi}{2}\right) \end{aligned}$$

• 第二種楕円積分（ルジャンドルの標準形） $$E(k,\phi)= \int_0^{\phi}\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}d\theta$$ において，$\sin\theta=t$ と置換すると，$\cos\theta=\sqrt{1-t^2}$ より， $$E(k,\phi)= \int_0^{\sin\phi}\sqrt{1-k^2t^2}\dfrac{dt}{\sqrt{1-t^2}}$$ あらためて $\sin\phi=x$ と置けばよい。
• 第一種楕円積分も同様