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単振り子の周期(近似解と厳密解の比較)

更新日時 2021/03/07

単振り子の周期は

T=4lg0π2dϕ1sin2θ02sin2ϕT=4\sqrt{\dfrac{l}{g}}\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{d\phi}{\sqrt{1-\sin^2\frac{\theta_0}{2}\sin^2\phi}}

目次
  • やりたいこと

  • 単振り子の周期(厳密解)

  • 楕円積分へ変形

  • 近似解と厳密解の比較

やりたいこと

振り子の最大角 θ0\theta_0 が微小なとき,単振り子の周期 TT2πlg2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}} である,というのが高校物理で習う公式です。この記事では θ0\theta_0 が微小でない場合にも成立する厳密な式を導出し,近似解と比較します。

なお,空気抵抗は無視します。

単振り子の周期(厳密解)

gg は重力加速度,mm は質量,ll は振り子の長さ,θ0\theta_0 は振り子の最大角,h0h_0 は振り子の最大の高さとします。近似は一切しません。

周期の導出

単振り子の周期

最下点から hh だけ上がった点での速さを vv とすると,エネルギー保存則より

12mv2+mgh=mgh0\dfrac{1}{2}mv^2+mgh=mgh_0

次に上式において,h=l(1cosθ)h=l(1-\cos\theta)h0=l(1cosθ0)h_0=l(1-\cos\theta_0) という関係式を使って高さを角度に変換すると,

12v2+gl(1cosθ)=gl(1cosθ0)\dfrac{1}{2}v^2+gl(1-\cos\theta)=gl(1-\cos\theta_0)

これを vv について解くと,v=2gl(cosθcosθ0)v=\sqrt{2gl(\cos\theta-\cos\theta_0)}

また,時間が Δt\Delta t 変化するときに角度が Δθ\Delta\theta だけ変化したとすると,vΔt=lΔθv\Delta t=l\Delta \theta である。よって,周期は

T=40T4dt=40θ0ldθv=4l2gl0θ0dθcosθcosθ0T=4\int_0^{\frac{T}{4}}dt\\ =4\displaystyle\int_0^{\theta_0}\dfrac{ld\theta}{v}\\ =\displaystyle\dfrac{4l}{\sqrt{2gl}}\int_0^{\theta_0}\dfrac{d\theta}{\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0}}

楕円積分へ変形

周期を求めるための式を導出できましたが,右辺の定積分は簡単に計算することはできません。そこで,楕円積分と呼ばれる有名な積分(これも厳密に計算できるわけではないが計算機に投げやすい形)に帰着させます。

具体的には sinθ2=sinθ02sinϕ\sin\dfrac{\theta}{2}=\sin\dfrac{\theta_0}{2}\sin\phiθ\theta から ϕ\phi へ変数変換します。計算はただめんどくさいだけなので省略しますが,変数変換の結果,

T=4lg0π2dϕ1sin2θ02sin2ϕT=4\sqrt{\dfrac{l}{g}}\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{d\phi}{\sqrt{1-\sin^2\frac{\theta_0}{2}\sin^2\phi}}

となります。

この右辺の定積分は第一種完全楕円積分と呼ばれる定積分です(ちなみに楕円の周の長さに登場する楕円積分は第二種です→楕円の周の長さの求め方と近似公式)。

最大角 θ0\theta_0 が微小なら被積分関数は 11 と近似でき,T2πlgT\simeq 2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}} となります。高校物理で習う式です!

近似解と厳密解の比較

(厳密解)÷(近似解) = 2π0π2dϕ1sin2θ02sin2ϕ\dfrac{2}{\pi}\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{d\phi}{\sqrt{1-\sin^2\frac{\theta_0}{2}\sin^2\phi}} をいろいろな θ0\theta_0 に対して計算してみました。

θ0\theta_0 ,(厳密解)÷(近似解)

5°,1.0005

10°,1.0019

20°,1.0077

30°,1.0174

45°,1.0400

60°,1.0732

90°,1.1803

近似解の精度がけっこういいですね!なお,計算にはWolfram AlphaのEllipticK関数を使いました。

高校物理で習ううさんくさい近似式もそんなに悪くはないということですね。

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