単振り子の周期（近似解と厳密解の比較）

やりたいこと

振り子の最大角 $\theta_0$ が微小なとき，単振り子の周期 $T$ は $2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}$ である，というのが高校物理で習う公式です。この記事では $\theta_0$ が微小でない場合にも成立する厳密な式を導出し，近似解と比較します。

なお，空気抵抗は無視します。

単振り子の周期（厳密解）

$g$ は重力加速度，$m$ は質量，$l$ は振り子の長さ，$\theta_0$ は振り子の最大角，$h_0$ は振り子の最大の高さとします。近似は一切しません。

楕円積分へ変形

周期を求めるための式を導出できましたが，右辺の定積分は簡単に計算することはできません。そこで，楕円積分と呼ばれる有名な積分（これも厳密に計算できるわけではないが計算機に投げやすい形）に帰着させます。

具体的には $\sin\dfrac{\theta}{2}=\sin\dfrac{\theta_0}{2}\sin\phi$ と $\theta$ から $\phi$ へ変数変換します。計算はただめんどうなだけなので省略しますが，変数変換の結果，

$T=4\sqrt{\dfrac{l}{g}}\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{d\phi}{\sqrt{1-\sin^2\frac{\theta_0}{2}\sin^2\phi}}$

となります。

この右辺の定積分は第一種完全楕円積分と呼ばれる定積分です（ちなみに楕円の周の長さに登場する楕円積分は第二種です→楕円の周の長さの求め方と近似公式）。

最大角 $\theta_0$ が微小なら被積分関数は $1$ と近似でき，$T\fallingdotseq 2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}$ となります。高校物理で習う式です！

近似解と厳密解の比較

(厳密解)÷(近似解) = $\dfrac{2}{\pi}\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{d\phi}{\sqrt{1-\sin^2\frac{\theta_0}{2}\sin^2\phi}}$ をいろいろな $\theta_0$ に対して計算してみました。

近似解の精度がけっこういいですね！　なお，計算にはWolfram AlphaのEllipticK関数を使いました。