単振り子の周期（近似解と厳密解の比較）

更新日時 2021/03/07

単振り子の周期

単振り子の周期は，

高校物理で習う近似解は $2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}$
厳密解は
$4\sqrt{\dfrac{l}{g}}\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{d\phi}{\sqrt{1-\sin^2\frac{\theta_0}{2}\sin^2\phi}}$

やりたいこと

振り子の最大角 $\theta_0$ が微小なとき，単振り子の周期 $T$ は $2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}$ である，というのが高校物理で習う公式です。この記事では $\theta_0$ が微小でない場合にも成立する厳密な式を導出し，近似解と比較します。

なお，空気抵抗は無視します。

単振り子の周期（厳密解）

$g$ は重力加速度， $m$ は質量， $l$ は振り子の長さ， $\theta_0$ は振り子の最大角， $h_0$ は振り子の最大の高さとします。近似は一切しません。

周期の導出

単振り子の周期

最下点から $h$ だけ上がった点での速さを $v$ とすると，エネルギー保存則より

$\dfrac{1}{2}mv^2+mgh=mgh_0$

次に上式において， $h=l(1-\cos\theta)$ ， $h_0=l(1-\cos\theta_0)$ という関係式を使って高さを角度に変換すると，

$\dfrac{1}{2}v^2+gl(1-\cos\theta)=gl(1-\cos\theta_0)$

これを $v$ について解くと， $v=\sqrt{2gl(\cos\theta-\cos\theta_0)}$

また，時間が $\Delta t$ 変化するときに角度が $\Delta\theta$ だけ変化したとすると， $v\Delta t=l\Delta \theta$ である。よって，周期は

$T=4\displaystyle\int_0^{\frac{T}{4}}dt\\ =4\displaystyle\int_0^{\theta_0}\dfrac{ld\theta}{v}\\ =\displaystyle\dfrac{4l}{\sqrt{2gl}}\int_0^{\theta_0}\dfrac{d\theta}{\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0}}$

楕円積分へ変形

周期を求めるための式を導出できましたが，右辺の定積分は簡単に計算することはできません。そこで，楕円積分と呼ばれる有名な積分（これも厳密に計算できるわけではないが計算機に投げやすい形）に帰着させます。
具体的には
sin⁡θ2=sin⁡θ02sin⁡ϕ\sin\dfrac{\theta}{2}=\sin\dfrac{\theta_0}{2}\sin\phisin2θ​=sin2θ0​​sinϕ
 と
θ\thetaθ
 から
ϕ\phiϕ
 へ変数変換します。計算はただめんどうなだけなので省略しますが，変数変換の結果，
T=4lg∫0π2dϕ1−sin⁡2θ02sin⁡2ϕT=4\sqrt{\dfrac{l}{g}}\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{d\phi}{\sqrt{1-\sin^2\frac{\theta_0}{2}\sin^2\phi}}T=4gl​​∫02π​​1−sin22θ0​​sin2ϕ​dϕ​
となります。
この右辺の定積分は第一種完全楕円積分と呼ばれる定積分です。→楕円積分の意味と身近な4つの例
（ちなみに楕円の周の長さに登場する楕円積分は第二種です→楕円の周の長さの求め方と近似公式）
最大角
θ0\theta_0θ0​
 が微小なら被積分関数は
111
 と近似でき，T≒2πlgT\fallingdotseq 2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}T≒2πgl​​
 となります。高校物理で習う式です！

近似解と厳密解の比較

(厳密解)÷(近似解) = $\dfrac{2}{\pi}\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{d\phi}{\sqrt{1-\sin^2\frac{\theta_0}{2}\sin^2\phi}}$ をいろいろな $\theta_0$ に対して計算してみました。