どこかの大学入試の積分の問題で、logxが入っている式なのに積分区間が0から何かまでになっている問題を見たことがあります

「広義積分」という考え方で適用可能です。

例えば以下の積分を考えてみましょう。

$$J = \int_0^{4} x \log x \, dx$$

まず、十分に0に近い正の実数 $\varepsilon \; (0 < \varepsilon < 4)$ を用意します。そして、$\varepsilon$ から $4$ までの積分を考えるのです。

$$K = \int_\varepsilon^{4} x \log x \, dx$$

最後に $\varepsilon \to 0$ とすれば $K \to J$ となります。

実際に計算すると

$$K = \left[ x (x \log x - x) \right]_\varepsilon^{4} - \int_\varepsilon^{4} (x \log x - x) \, dx \\2K = 16(2\log 2 - 1) - \varepsilon^2 (\log \varepsilon - 1) + 8 - \dfrac{\varepsilon^2}{2} \\K = 8 (2 \log 2 - 1) - \dfrac{1}{2} \varepsilon^2 (\log \varepsilon - 1) + 4 - \dfrac{\varepsilon^2}{4}$$

$\varepsilon \to 0$ として

$$J = 16 \log 2 - 4$$

と求められるのです。

大学入試の範囲で出題して良いのかどうかはわかりませんが、実際に誘導つきで出題されている事はあるようですね！