ねじれの位置にある2直線に関する問題～大阪大学2024

座標をうまく取ることで $l$ が $x$ 軸，$m$ が $xy$ 平面と平行な平面上にあるとしてよい。

このとき直線 $m$ は $$\begin{cases} ax+by = 1\\ z = c \end{cases}$$ と表すことができる。特に $l$ と $m$ はねじれの位置にあるため，$a \neq 0$ である。（$a = 0$ なら平行になる。）

$l$ 上の点 $\mathrm{L}$ と $m$ 上の点 $\mathrm{M}$ を任意に取る。これは $\mathrm{L} (s,0,0)$，$\mathrm{M} \left( \dfrac{1-bt}{a} ,t,c \right)$（$s,t$ は実数）とおくことができる。

$\overrightarrow{\mathrm{LM}}$ が直線 $l$ の方向ベクトルと直線 $m$ の方向ベクトル両方と直交するような $s,t$ が1組であることを示せばよい。

$$\overrightarrow{\mathrm{LM}} = \begin{pmatrix} \dfrac{1-bt}{a}-s & t & c \end{pmatrix}$$

$l$ の方向ベクトルとして $\begin{pmatrix} 1&0&0 \end{pmatrix}$，$m$ の方向ベクトルとして $\begin{pmatrix} b & -a & 0 \end{pmatrix}$ がとれる。それぞれ内積を取ると連立方程式 $$\begin{cases} \dfrac{1-bt}{a}-s = 0\\ b \left( \dfrac{1-bt}{a}-s \right) -a t = 0 \end{cases}$$ が得られる。

これを解くと $t = 0$，$s = \dfrac{1}{a}$ と得られる。

よって直線 $l$ と直線 $m$ どちらとも直交する直線はただ1つ存在する。