法線ベクトルの3通りの求め方と応用

→ 垂直な直線の方程式の求め方と応用【垂直条件】

直線から法線ベクトル

直線の式を変形すると $y = -\dfrac{a}{b} x - \dfrac{c}{b}$ です。「垂直な2直線の傾きの積は $-1$」であるため，直交する直線の傾きは $\dfrac{b}{a}$ です。

よって法線ベクトルは $(a,b)$ です。

法線ベクトルから直線

ベクトル $\begin{pmatrix} x-x_0 \\ y-y_0 \end{pmatrix}$ は直線の傾きと平行なベクトルです。

このベクトルと法線ベクトルが直交することから，これらの内積は $0$ です。よって $$a (x-x_0) + b (y-y_0) = 0$$ 整理すると $$a x + b y - a x_0 - b y_0 = 0$$ となります。

→ ベクトル方程式の公式一覧

まずは，座標平面における法線の方程式を求める方法を紹介します。

$y=f(x)$ の $(a,f(a))$ における接線の傾きは $f'(a)$ です。そして「垂直な2直線の傾きの積は $-1$」なので法線の傾きは $-\dfrac{1}{f'(a)}$となります。よって，以下が成立します。

$f'(x)=2x$ より，$f'(-1)=-2$ です。

よって法線の方程式は，上の公式より $y-1=\dfrac{1}{2} (x+1)$， つまり $y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}$ となります。

次は，法線ベクトルを求める一般的な公式を紹介します。法線ベクトルとは，法線方向（接線に垂直な方向）のベクトルです。

「偏微分」という名前と記号を見て一瞬ひるんでしまいがちですが，意味は単純です。多変数関数を特定の変数に関して微分したものを偏微分と呼ぶだけです。$f_x$ と書いたり $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ と書いたりします。公式の証明は後ほどします。

$y=x^2$ は $x^2-y=0$ と変形できます。そこで $f(x,y)=x^2-y$ として公式を使います。

• $x$ で偏微分すると $f_x=2x$ となる。$(x,y)=(-1,1)$ のとき $2x=-2$
• $y$ で偏微分すると $f_y=-1$ となる。

よって，法線ベクトルの1つは $(-2,-1)$

$f_x=2x, f_y=2y$ より $(1,0)$ における偏微分の値は $(2,0)$ となる。よって $(2,0)$ が法線ベクトルの $1$ つ。

このように，どんな関数でも，$f(x,y)=0$ の形に直して各変数で微分してその点の座標を代入することで法線ベクトルが簡単に求まります！

法線ベクトルの知識は大学入試でも役立ちます。例えば，法線ベクトルが分かれば接線の方程式が分かります。

ここでは応用例として， 円 $C$ : $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ 上の点 $A(x_0,y_0)$ における接線の方程式を導出します。

これでも十分ですが，見慣れた形に変形してみます：

$(x-a+a-x_0)(x_0-a)+(y-b+b-y_0)(y_0-b)=0$
→ $(x-a)(x_0-a)+(y-b)(y_0-b)=r^2$
（ここで $(x_0-a)^2+(y_0-b)^2=r^2$ であることを用いた）

同様に楕円，双曲線などの接線の方程式も簡単に求めることができます。

また，法線ベクトルの他の応用としては平面の方程式が挙げられます。 →平面の方程式とその3通りの求め方

法線ベクトルの公式を導出します。つまり「各成分の偏微分を並べたベクトル」が法線ベクトルになっているという主張を示します。この「各成分の偏微分を並べたベクトル」は 勾配ベクトルと呼ばれ，大学数学や物理で大活躍します。→勾配ベクトルの意味と例題

大雑把な説明をします（$\varepsilon -\delta$ 論法を用いた厳密な証明は大学範囲です）。

もう少し丁寧に言うと，媒介変数 $t$ を用いて $x=x(t),y=y(t)$ と表される曲線の $t=t_0$ における法線ベクトルは，$\left( -\left.\dfrac{dy(t)}{dt}\right|_{t=t_0},\left.\dfrac{dx(t)}{dt}\right|_{t=t_0} \right)$ になります。

$t=-1$ において $x'=1,y'=-2$ なので，法線ベクトルの1つは $(2,1)$

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