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法線ベクトルの求め方と応用

更新日時 2021/03/07

AA における法線とは,AA を通り接線に垂直な直線のことです。

法線の定義

この記事では2つの公式を紹介します。

  • 法線の方程式を計算する公式
  • 法線方向のベクトル(法線ベクトル)を計算する公式
目次
  • 法線の方程式の求め方

  • 法線ベクトルの求め方

  • 法線ベクトルの公式の応用

  • 法線ベクトルの公式の導出

法線の方程式の求め方

y=f(x)y=f(x)(a,f(a))(a,f(a)) における接線の傾きは f(a)f'(a) です。そして「垂直な2直線の傾きの積は 1-1 」なので法線の傾きは 1f(a)-\dfrac{1}{f'(a)}となります。よって,以下が成立します。

法線の方程式

y=f(x)y=f(x)(a,f(a))(a,f(a)) における法線の方程式は f(a)0f'(a)\neq 0 なら

yf(a)=1f(a)(xa)y-f(a)=-\dfrac{1}{f'(a)}(x-a)

例題1

y=x2y=x^2(1,1)(-1,1) における法線の方程式を求めよ。

f(x)=2xf'(x)=2x より,f(1)=2f'(-1)=-2

よって法線の方程式は,上の公式より y1=12(x+1)y-1=\dfrac{1}{2}(x+1)

つまり y=12x+32y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}

法線ベクトルの求め方

法線ベクトルとは,法線方向のベクトルです。法線ベクトルを求める一般的な公式を紹介します。

法線ベクトルを求める公式

f(x,y)=0f(x,y)=0 で表される曲線の (x,y)(x, y) における法線ベクトルの1つは (fx,fy)(f_x, f_y) である。

ただし,fx=fxf_x=\dfrac{\partial f}{\partial x}xx に関する偏微分。 fyf_y も同様。

証明は後ほどします。

「偏微分」という名前と記号を見て一瞬ひるんでしまいがちですが,意味は単純です。多変数関数を特定の変数に関して微分したものを偏微分と呼ぶだけです。 fxf_x と書いたり fx\dfrac{\partial f}{\partial x} と書いたりします。

例題2

y=x2y=x^2(1,1)(-1,1) における法線ベクトルを計算せよ。

y=x2y=x^2x2y=0x^2-y=0 と変形できます。そこで f(x,y)=x2yf(x,y)=x^2-y として公式を使います。

  • xx で偏微分すると fx=2xf_x=2x となる。(x,y)=(1,1)(x,y)=(-1,1) のとき 2x=22x=-2
  • yy で偏微分すると fy=1f_y=-1 となる。

よって,法線ベクトルの1つは (2,1)(-2,-1)

例題3

x2+y2=1x^2+y^2=1(1,0)(1,0) における法線ベクトルを求めよ

fx=2x,fy=2yf_x=2x, f_y=2y より (1,0)(1,0) における偏微分の値たちは (2,0)(2,0) となる。よって (2,0)(2,0) が法線ベクトルの 11 つ。

このように,どんな関数でも, f(x,y)=0f(x,y)=0 の形に直して各変数で微分してその点の座標を代入することで法線ベクトルが簡単に求まるのです!

法線ベクトルの公式の応用

法線ベクトルの知識は大学入試でも役立ちます。例えば,法線ベクトルが分かれば接線の方程式が分かります。

ここでは応用例として, 円 CC : (xa)2+(yb)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 上の点 A(x0,y0)A(x_0,y_0) における接線の方程式を導出します。

CCAA における法線ベクトルは上記の公式を用いて (2(x0a),2(y0b))(2(x_0-a),2(y_0-b)) と分かる。

よって,(x,y)(x,y) が接線上にある
(xx0,yy0)(x-x_0,y-y_0) と法線ベクトルが垂直
(xx0)(x0a)+(yy0)(y0b)=0(x-x_0)(x_0-a)+(y-y_0)(y_0-b)=0

となり円の接線の方程式を得る。

これでも十分ですが,見慣れた形に変形してみます:

(xa+ax0)(x0a)+(yb+by0)(y0b)=0(x-a+a-x_0)(x_0-a)+(y-b+b-y_0)(y_0-b)=0
(xa)(x0a)+(yb)(y0b)=r2(x-a)(x_0-a)+(y-b)(y_0-b)=r^2
(ここで (x0a)2+(y0b)2=r2(x_0-a)^2+(y_0-b)^2=r^2 であることを用いた)

同様に楕円,双曲線などの接線の方程式も簡単に求めることができます。

また,法線ベクトルの他の応用としては平面の方程式が挙げられます。 →平面の方程式とその3通りの求め方

法線ベクトルの公式の導出

法線ベクトルの公式を導出します。「各成分の偏微分を並べたベクトル」が法線ベクトルになっているという主張を示したいです。この「各成分の偏微分を並べたベクトル」は 勾配ベクトルと呼ばれ,大学数学や物理で大活躍します。→勾配ベクトルの意味と例題

大雑把な説明をします(εδ\varepsilon -\delta 論法を用いた厳密な証明は大学範囲です)。

説明

曲線 f(x,y)=0f(x,y)=0 上の点 A(x,y)A(x, y) からほんの少し動いた点 B(x+Δx,y+Δy)B(x+\Delta x, y+\Delta y) も同じ曲線上にあるとする。 Δx,Δy\Delta x, \Delta y が十分小さいとき (x,y)(x,y) における接線の方向ベクトルは (Δx,Δy)(\Delta x, \Delta y) とみなせる。

これと直交するベクトルを求めるのが目標。

ここで,(x,y)(x,y) の近くで xx 方向に Δx\Delta x だけ進むと関数値は fxΔxf_x\Delta x 増える(一次近似)。

同様に (x,y)(x,y) の近くで yy 方向に Δy\Delta y だけ進むと関数値は fyΔyf_y\Delta y 増える

ところが A,BA, B における関数値はともに 00 で等しいので

fxΔx+fyΔy=0f_x\Delta x+f_y\Delta y=0

これは勾配ベクトル (fx,fy)(f_x,f_y) と接線ベクトルの内積が 00 であることを示しており,勾配ベクトルと接線ベクトルは直交することが分かる。

大学数学のベクトル解析でより深く学びます。

Tag:偏微分の高校数学への応用

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