三角形の頂点からの距離の二乗の和は重心で最小になる

$\mathrm{A} (x_{\mathrm{A}},y_{\mathrm{A}})$，$\mathrm{B} (x_{\mathrm{B}},y_{\mathrm{B}})$，$\mathrm{C} (x_{\mathrm{C}},y_{\mathrm{C}})$ とおくと任意の点 $\mathrm{X} (x, y)$ に対して，

$$\begin{aligned} &f(x,y)\\ &=\mathrm{XA}^2 + \mathrm{XB}^2 + \mathrm{XC}^2 \\ &=(x-x_{\mathrm{A}})^2+(x-x_{\mathrm{B}})^2+(x-x_{\mathrm{C}})^2\\ &\quad +(y-y_{\mathrm{A}})^2+(y-y_{\mathrm{B}})^2+(y-y_{\mathrm{C}})^2 \end{aligned}$$

となるので $X$ を動かしてこれを最小化する問題を考える。

$f(x, y)$ は $x$ の関数と $y$ の関数の和になっているのでそれぞれ最小化すればよい。

$x$ の部分だけ見ると二次関数なので簡単に最小化できる：

$$3x^2-2(x_{\mathrm{A}}+x_{\mathrm{B}}+x_{\mathrm{C}})x+x_{\mathrm{A}}^2+x_{\mathrm{B}}^2+x_{\mathrm{C}}^2$$

これを最小化する $x$ は $x=\dfrac{x_{\mathrm{A}}+x_{\mathrm{B}}+x_{\mathrm{C}}}{3}$

となり重心の $x$ 座標と一致する。 $y$ 座標についても同様に証明できる。

$$\begin{aligned} |\overrightarrow{\mathrm{AX}}|^2 &= |\overrightarrow{\mathrm{AG}}-\overrightarrow{\mathrm{XG}}|^2\\ &= |\overrightarrow{\mathrm{AG}}|^2 + |\overrightarrow{\mathrm{XG}}|^2 - 2 \overrightarrow{\mathrm{AG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{XG}} \end{aligned}$$ である。同様の式が $\mathrm{BX},\mathrm{CX}$ でも成立するため $$\begin{aligned} &\mathrm{AX}^2 + \mathrm{BX}^2 + \mathrm{CX}^2\\ &= (\mathrm{AG}^2+\mathrm{BG}^2 + \mathrm{CG}^2) + 3\mathrm{XG}^2 \\ &\quad - 2 (\overrightarrow{\mathrm{AG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{XG}} + \overrightarrow{\mathrm{BG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{XG}} + \overrightarrow{\mathrm{CG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{XG}})\\ &= (\mathrm{AG}^2+\mathrm{BG}^2 + \mathrm{CG}^2) + 3\mathrm{XG}^2 \\ &\quad - 2 (\overrightarrow{\mathrm{AG}} + \overrightarrow{\mathrm{BG}} + \overrightarrow{\mathrm{CG}}) \cdot \overrightarrow{\mathrm{XG}} \end{aligned}$$ が成り立つ。

今，$\mathrm{G}$ は三角形 $\mathrm{ABC}$ の重心であったため， $$\overrightarrow{\mathrm{AG}} + \overrightarrow{\mathrm{BG}} + \overrightarrow{\mathrm{CG}}= 0$$ である。よって $$\mathrm{AX}^2 + \mathrm{BX}^2 + \mathrm{CX}^2 = \mathrm{AG}^2+\mathrm{BG}^2 + \mathrm{CG}^2 + 3\mathrm{XG}^2$$ となる。

$\mathrm{XG}^2 \geqq 0$（等号成立は $\mathrm{P}$ と $\mathrm{G}$ が一致するとき）であるため， $$\mathrm{AX}^2 + \mathrm{BX}^2 + \mathrm{CX}^2 \geqq \mathrm{AG}^2+\mathrm{BG}^2 + \mathrm{CG}^2$$ （等号成立は $\mathrm{P} = \mathrm{G}$ であるとき）が示された。

$$\begin{aligned} &\mathrm{GA}^2+\mathrm{GB}^2+\mathrm{GC}^2\\ &=\overrightarrow{\mathrm{GA}}\cdot (\overrightarrow{\mathrm{GX}}+\overrightarrow{\mathrm{XA}})+\overrightarrow{\mathrm{GB}}\cdot(\overrightarrow{\mathrm{GX}}+\overrightarrow{\mathrm{XB}})+\overrightarrow{\mathrm{GC}}\cdot(\overrightarrow{\mathrm{GX}}+\overrightarrow{\mathrm{XC}})\\ &=\overrightarrow{\mathrm{GA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{XA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{XB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{XC}}\\ &\leqq \mathrm{GA}\cdot \mathrm{XA}+\mathrm{GB}\cdot \mathrm{XB}+\mathrm{GC}\cdot \mathrm{XC} \end{aligned}$$

ただし，二行目から三行目への変形で $\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}=\overrightarrow{0}$ を用いた。最終行への変形はベクトルの内積の定義を用いた。

さらにシュワルツの不等式より，

$$\begin{aligned} &\mathrm{GA}\cdot \mathrm{XA}+\mathrm{GB}\cdot \mathrm{XB}+\mathrm{GC}\cdot \mathrm{XC}\\ &\leqq (\mathrm{GA}^2+\mathrm{GB}^2+\mathrm{GC}^2)(\mathrm{XA}^2+\mathrm{XB}^2+\mathrm{XC}^2) \end{aligned}$$

以上 $2$ つの不等式を合わせて目標の不等式を得る。

辺 $\mathrm{BC}$ の中点を $M$ とおくと中線定理より，

$$\mathrm{BX}^2+\mathrm{CX}^2=2(\mathrm{BM}^2+\mathrm{MX}^2)$$

一方，スチュワートの定理より，

$$\begin{aligned} &\mathrm{AX}^2\times \mathrm{GM}+\mathrm{MX}^2\times \mathrm{AG}\\ &= \mathrm{AM} (\mathrm{AG} \times \mathrm{GM}+\mathrm{GX}^2) \end{aligned}$$

重心の性質より $\mathrm{AG}:\mathrm{GM}=2:1$ なので，

$$\mathrm{AX}^2+2\mathrm{MX}^2=3(\mathrm{AG} \times \mathrm{GM}+\mathrm{GX}^2)$$

よって， $$\mathrm{AX}^2+\mathrm{BX}^2+\mathrm{CX}^2=3\mathrm{GX}^2+2\mathrm{BM}^2+3(\mathrm{AG}\times \mathrm{GM})$$

ここで右辺に注目すると $3 \mathrm{GX}^2$ 以外は定数（三角形 $\mathrm{ABC}$ の形状のみで決まる）なので $\mathrm{GX}=0$ のとき(すなわち $\mathrm{X}$ が重心と一致するとき)二乗和が最小となることが分かる。

この記事の結果より，三角形を固定したとき，左辺は $\mathrm{X}$ が $\mathrm{ABC}$ の重心 $\mathrm{G}$ と一致するときに最小となる。よって $\mathrm{X}=\mathrm{G}$ の場合のみ証明すればよい。

ここから，すべてを三角形の辺の長さ $a,b,c$ で表す方針で解く。

左辺は 三角形の五心と頂点までの距離 より $$\mathrm{AG}^2+\mathrm{BG}^2+\mathrm{CG}^2=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$$

右辺は ヘロンの公式 の二乗のみで表すバージョンより $$\dfrac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(a^4+b^4+c^4)}$$

ここで，$x=a^4+b^4+c^4$，$y=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$ とおくと、示すべき不等式は

$$\dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{9}\geqq\dfrac{2y-x}{3}$$

$$\dfrac{x+2y}{9}\geqq\dfrac{2y-x}{3}$$

$$x+2y\geqq 6y-3x$$

$$x\geqq y$$

これは 有名不等式a^2+b^2+c^2≧ab+bc+ca より成立する。

ちなみに $\mathrm{ABC}$ が正三角形のとき $x=y$ となり等号成立。