三角形における距離の二乗の和の公式

$A(x_A,y_A), B(x_B,y_B), C(x_C,y_C)$ とおくと任意の点 $X(x, y)$ に対して，

$f(x,y)\\ =XA^2+XB^2+XC^2 \\=(x-x_A)^2+(x-x_B)^2+(x-x_C)^2 \\\:+(y-y_A)^2+(y-y_B)^2+(y-y_C)^2$

となるので $X$ を動かしてこれを最小化する問題を考える。

$f(x, y)$ は $x$ の関数と $y$ の関数の和になっているのでそれぞれ最小化すればよい。

$x$ の部分だけ見ると二次関数なので簡単に最小化できる：

$3x^2-2(x_A+x_B+x_C)x+x^2_A+x^2_B+x^2_C$

これを最小化する $x$ は $x=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3}$

となり重心の $x$ 座標と一致する。 $y$ 座標についても同様に証明できる。

$GA^2+GB^2+GC^2\\ =\overrightarrow{GA}\cdot (\overrightarrow{GX}+\overrightarrow{XA})+\overrightarrow{GB}\cdot(\overrightarrow{GX}+\overrightarrow{XB})+\overrightarrow{GC}\cdot(\overrightarrow{GX}+\overrightarrow{XC})\\ =\overrightarrow{GA}\cdot \overrightarrow{XA}+\overrightarrow{GB}\cdot \overrightarrow{XB}+\overrightarrow{GC}\cdot \overrightarrow{XC}\\ \leq GA\cdot XA+GB\cdot XB+GC\cdot XC$

ただし，二行目から三行目への変形で $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$ を用いた。最終行への変形はベクトルの内積の定義を用いた。

さらにシュワルツの不等式より，

上式の最右辺の二乗 $\leq (GA^2+GB^2+GC^2)(XA^2+XB^2+XC^2)$

以上 $2$ つの不等式を合わせて目標の不等式を得る。

辺 $BC$ の中点を $M$ とおくと中線定理より，

$BX^2+CX^2=2(BM^2+MX^2)$

一方，スチュワートの定理より，

$AX^2\times GM+MX^2\times AG\\=AM(AG\times GM+GX^2)$

重心の性質より $AG:GM=2:1$ なので，

$AX^2+2MX^2=3(AG\times GM+GX^2)$

よって，$AX^2+BX^2+CX^2=3GX^2+2BM^2+3(AG\times GM)$

ここで右辺に注目すると $3GX^2$ 以外は定数（三角形 $ABC$ の形状のみで決まる）なので $GX=0$ のとき(すなわち $X$ が重心と一致するとき)二乗和が最小となることが分かる。