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三角形における距離の二乗の和の公式

更新日時 2021/03/07

三角形 ABCABC とその重心 GG ,および任意の点 XX に対して

AG2+BG2+CG2AX2+BX2+CX2AG^2+BG^2+CG^2\leq AX^2+BX^2+CX^2

が成立する。

三頂点からの距離の和を最小化する点はフェルマー点でしたが,二乗和を最小化する点は重心です。

この事実を三通りの方法で証明します!(座標,ベクトル,初等幾何)

目次
  • 座標を用いた証明

  • ベクトルを用いた証明

  • 初等幾何による証明

座標を用いた証明

距離の和は座標で扱いにくいですが,距離の二乗和は座標の得意分野です。

証明1

A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC)A(x_A,y_A), B(x_B,y_B), C(x_C,y_C) とおくと任意の点 X(x,y)X(x, y) に対して,

f(x,y)=XA2+XB2+XC2=(xxA)2+(xxB)2+(xxC)2+(yyA)2+(yyB)2+(yyC)2f(x,y)=XA^2+XB^2+XC^2=\\ (x-x_A)^2+(x-x_B)^2+(x-x_C)^2\\+(y-y_A)^2+(y-y_B)^2+(y-y_C)^2

となるので XX を動かしてこれを最小化する問題を考える。

f(x,y)f(x, y)xx の関数と yy の関数の和になっているのでそれぞれ最小化すればよい。

xx の部分だけ見ると二次関数なので簡単に最小化できる:

3x22(xA+xB+xC)x+xA2+xB2+xC23x^2-2(x_A+x_B+x_C)x+x^2_A+x^2_B+x^2_C

これを最小化する xxx=xA+xB+xC3x=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3}

となり重心の xx 座標と一致する。 yy 座標についても同様に証明できる。

ベクトルを用いた証明

次はベクトルです。 GA2+GB2+GC2GA^2+GB^2+GC^2 をどんどん変形していき上から抑えます。

証明2

GA2+GB2+GC2=GAundefined(GXundefined+XAundefined)+GBundefined(GXundefined+XBundefined)+GCundefined(GXundefined+XCundefined)=GAundefinedXAundefined+GBundefinedXBundefined+GCundefinedXCundefinedGAXA+GBXB+GCXCGA^2+GB^2+GC^2\\ =\overrightarrow{GA}\cdot (\overrightarrow{GX}+\overrightarrow{XA})+\overrightarrow{GB}\cdot(\overrightarrow{GX}+\overrightarrow{XB})+\overrightarrow{GC}\cdot(\overrightarrow{GX}+\overrightarrow{XC})\\ =\overrightarrow{GA}\cdot \overrightarrow{XA}+\overrightarrow{GB}\cdot \overrightarrow{XB}+\overrightarrow{GC}\cdot \overrightarrow{XC}\\ \leq GA\cdot XA+GB\cdot XB+GC\cdot XC

ただし,二行目から三行目への変形で GAundefined+GBundefined+GCundefined=0undefined\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0} を用いた。最終行への変形はベクトルの内積の定義を用いた。

さらにシュワルツの不等式より,

上式の最右辺の二乗 (GA2+GB2+GC2)(XA2+XB2+XC2)\leq (GA^2+GB^2+GC^2)(XA^2+XB^2+XC^2)

以上 22 つの不等式を合わせて題意の不等式を得る。

座標による解答よりも発想力が必要なぶんエレガントでした。

初等幾何による証明

二乗の和を図形的に解釈するのはけっこう難しいです。二乗の和といえば中線定理!さらに XA2XA^2 を作り出すためにスチュワートの定理を使います。

証明3

中線定理を用いた証明BCBC の中点を MM とおくと中線定理より,

BX2+CX2=2(BM2+MX2)BX^2+CX^2=2(BM^2+MX^2)

一方スチュワートの定理より,

AX2×GM+MX2×AG=AM(AG×GM+GX2)AX^2\times GM+MX^2\times AG\\=AM(AG\times GM+GX^2)

重心の性質より AG:GM=2:1AG:GM=2:1 なので,

AX2+2MX2=3(AG×GM+GX2)AX^2+2MX^2=3(AG\times GM+GX^2)

よって,AX2+BX2+CX2=3GX2+2BM2+3(AG×GM)AX^2+BX^2+CX^2=3GX^2+2BM^2+3(AG\times GM)

ここで右辺に注目すると 3GX23GX^2 以外は定数(三角形 ABCABC の形状のみで決まる)なので GX=0GX=0 のとき(すなわち XX が重心と一致するとき)二乗和が最小となることが分かる!

※上記の証明により AX2+BX2+CX23GX2AX^2+BX^2+CX^2-3GX^2XX によらない不変量であることが分かります。

初等幾何もきれいですが,二乗の和だとやはり座標に軍配が上がります。

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