中線定理の３通りの証明

中線定理より， $$AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)$$ つまり $$4^2+5^2=2(AM^2+3^2)$$ が成立する。よって $$AM=\dfrac{\sqrt{46}}{2}$$ となる。

三角形 $AMB$ に余弦定理を用いると， $$\cos \angle AMB=\dfrac{AM^2+BM^2-AB^2}{2AM\cdot BM}$$ 同様に，三角形 $AMC$ に余弦定理を用いると， $$\cos \angle AMC=\dfrac{AM^2+CM^2-AC^2}{2AM\cdot CM}$$ ここで，$\cos \angle AMB=-\cos \angle AMC$ と $BM=CM$ より， $$AM^2+BM^2-AB^2=-AM^2-BM^2+AC^2$$

これを整理すると中線定理となる。

$\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{b}$ とおくと，$\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{-b}$ となる。

$AB^2+AC^2\\ =|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}|^2+|-\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}|^2\\ =2|\overrightarrow{b}|^2+2|\overrightarrow{a}|^2\\ =2AM^2+2BM^2$

$A(a, b), B(-c, 0), C(c,0)$ と座標を設定する。

中線定理の左辺 $AB^2+AC^2$ は，

$(a+c)^2+b^2+(a-c)^2+b^2\\ =2a^2+2b^2+2c^2$

一方，中線定理の右辺は，

$2(AM^2+BM^2)=2(a^2+b^2+c^2)$

となり両辺は一致する。

例えば証明3と同様に $A(a,b),B(-c,0),C(c,0)$

とおき，$P(x,0)$ とすると，

$AB^2+AC^2=2(AP^2+BP^2)$

という条件から $x=0,a-c$ となります。

$x=0$ なら $P$ は中点ですが $P$ が $(a-c,0)$ のときも中線定理の式を満たします。