三角形の五心と頂点までの距離

$BC$ の中点を $M$ とおくと中線定理より，

$b^2+c^2=2(AM^2+\dfrac{a^2}{4})$

よって，

$AM^2=\dfrac{-a^2+2b^2+2c^2}{4}$

これと重心の性質： $AG=\dfrac{2}{3}AM$ より $AG$ が上記の公式のようになる。

$A$ が鋭角の場合で証明する（鈍角の場合もほとんど同様）。

$BH$ と $AC$ の交点を $D$ とおくと，

$\cos (90^{\circ}-C)=\dfrac{AD}{AH}$

$\cos A=\dfrac{AD}{c}$

以上より，

$AH=\dfrac{c}{\sin C}\cos A=2R\cos A$

内接円の半径を $r$ とおくと

$\sin\dfrac{A}{2}=\dfrac{r}{AI}$

また，外接円の半径と内接円の半径の関係より $r=4R\sin\dfrac{A}{2}\sin\dfrac{B}{2}\sin\dfrac{C}{2}$

以上二つの式から $r$ を消去すると求める公式を得る

$AI$ と $BC$ の交点を $P$ とおく。 幾何不等式の練習でも紹介したように，角の二等分線公式を二回使うと，$AI:IP=b+c:a$ より

$AI=\dfrac{b+c}{a+b+c}AP$ が分かる。

ここで，角の二等分線に関する重要な3つの公式の公式3より

$AP^2=bc-\dfrac{ab}{(b+c)}\dfrac{ac}{(b+c)}$

これを上式に代入して整理すると公式を得る。