フィボナッチ数列の逆数とタンジェント～東京科学大学2025第4問

$$\begin{aligned} a_{n+2} a_{n} - {a_{n+1}}^2 &= (a_{n+1}+a_n) a_n - {a_{n+1}}^2\\ &= (a_{n}-a_{n+1})a_{n+1} + {a_n}^2\\ &= - a_{n-1} a_{n+1} + {a_n}^2\\ &= (-1) (a_{n+1}a_{n-1} - {a_n}^2) \end{aligned}$$ と変形される。$a_3a_1- {a_2}^2 = 2-2 = 1$ であるため， $$\begin{aligned} a_{n+1}a_{n-1} - {a_n}^2 &= (-1)^{n-2} (a_3a_1-a_2)\\ &= (-1)^n \end{aligned}$$ である。

$$\begin{aligned} a_{2m} \cdot \tan (b_{2m+1} + b_{2m+2}) &= a_{2m} \cdot \dfrac{\tan b_{2m+1} + \tan b_{2m+2}}{1-\tan b_{2m+1} \tan b_{2m+m}}\\ &= a_{2m} \cdot \dfrac{\dfrac{1}{a_{2m+1}} + \dfrac{1}{a_{2m+2}}}{1 - \dfrac{1}{a_{2m+1}} \dfrac{1}{a_{2m+2}}}\\ &= a_{2m} \cdot \dfrac{a_{2m+1}+a_{2m+2}}{a_{2m+1}a_{2m+2} - 1}\\ &= \dfrac{a_{2m}a_{2m+1}+a_{2m}a_{2m+2}}{a_{2m+1}a_{2m+2} - 1} \end{aligned}$$

ここで (1) より $a_{2m} a_{2m+2} - {a_{2m+1}}^2 = (-1)^{2m+1} = -1$ である。

移項して $a_{2m} a_{2m+2} = {a_{2m+1}}^2-1$ である。 これを代入すると $$\begin{aligned} a_{2m} \cdot \tan (b_{2m+1} + b_{2m+2}) &= \dfrac{a_{2m}a_{2m+1}+({a_{2m+1}}^2-1)}{a_{2m+1}a_{2m+2} - 1}\\ &= \dfrac{a_{2m+1} (a_{2m}+a_{2m+1})-1}{a_{2m+1}a_{2m+2} - 1}\\ &= \dfrac{a_{2m+1} a_{2m+2} - 1}{a_{2m+1}a_{2m+2} - 1}\\ &= 1 \end{aligned}$$ と計算される。

(2) より $$\tan (b_{2m+1} + b_{2m+2}) = \dfrac{1}{a_{2m}}$$ すなわち $$b_{2m+1} + b_{2m+2} = b_{2m}$$ を得る。

※ $\dfrac{1}{a_{2m+1}}, \dfrac{1}{a_{2m+2}} < 1$ より $0 < b_{2m+1}, b_{2m+2} < \dfrac{\pi}{4}$ であるため，$0 < b_{2m+1}+b_{2m+2} < \dfrac{\pi}{2}$ である。

これより $$\begin{aligned} \sum_{m=0}^{n} b_{2m+1} &= b_1 + \sum_{m=1}^{n} (b_{2m}-b_{2m+2})\\ &= b_1 + b_2 - b_{2n+2} \end{aligned}$$ である。

$a_1 = a_2 = 1$ より $b_1 = b_2 = \dfrac{\pi}{4}$ であるため $$\sum_{m=0}^{n} b_{2m+1} = \dfrac{\pi}{2} - b_{2n+2}$$ である。

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \infty$ であるため， $$\lim_{n \to \infty} \tan b_n = \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{a_n} = 0$$ である。ゆえに $\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n = 0$

よって $$\sum_{m=0}^{\infty} b_{2m+1} = \dfrac{\pi}{2}$$ である。