加法定理の証明方法を教えてほしいです🙇‍♂️

加法定理というと、証明には多少のアイデアを必要とするものが多いので、教科書に載っているようなスタンダードの証明をしてみます。(参考までに、下に略図を貼っておきます)

さて、証明するための材料として、二つの点を考えてみます。$O,A,B$の$3$点を以下のように定めてみると、$\beta-\alpha$が出てきてくれるので、このまま余弦定理で$\cos (\beta-\alpha)$を出していきます。

$$AB^2=(\cos \beta-\cos\alpha)^2+(\sin \beta -\sin \alpha)^2=1^2+1^2-2\cos(\beta-\alpha)$$

$$\iff 1+1-2\cos \beta\cos\alpha-2\sin \beta \sin \alpha=1^2+1^2-2\cos(\beta-\alpha)$$

$$\iff \cos \beta\cos\alpha+\sin \beta \sin \alpha=\cos(\beta-\alpha)$$

さらに、$\alpha を-\alpha$に置き換えれば、

$$\bm{\cos (\alpha+\beta)=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta}$$

名の通り、加法の方も簡単に求められます。

今度は、$\sin (\alpha+\beta)=\cos \left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha-\beta \right)$に注意して変形を行います。

$$\cos \left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha-\beta \right)=\cos \left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)\cos \beta+\sin \left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)\sin \beta$$

$$\iff \bm {\sin (\alpha+\beta)= \sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta}$$

このように、単位円上の点を考慮するだけで簡単に証明ができます。ですが、計算が煩雑なのも事実です。そこで、もう一つベクトルを使った証明も考えてみます。ここでは内積を用いて一瞬で導出しましょう。単位円という性質を利用し、$\overrightarrow{OA}と\overrightarrow{OB}$の内積を$2$通りで表現して、

$$\overrightarrow{OA}・\overrightarrow{OB}=|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|\cos(\beta -\alpha)=\cos(\beta -\alpha)　\text{(長さと挟角による表現)}$$

$$\overrightarrow{OA}・\overrightarrow{OB}=\cos \beta\cos\alpha+\sin \beta \sin \alpha　　\text{(座標による表現)}$$

これを結べば、同じような等式を得ることができるので、あとは上記と同様の議論です。こんな感じでいかがでしょうか？