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    削除済みユーザー

    2022/1/1 23:40

    1 回答

    rrを無理数とするとき, 数列{⌊nr⌋}n=1,2,⋯\{\lfloor nr\rfloor\}_{n=1, 2, \cdots}が等差数列になり得ないことって証明できますか？

    補足

    私は等差数列として公差⌊2r⌋−⌊r⌋\lfloor 2r\rfloor -\lfloor r\rfloorを仮定して,

    ⌊nr⌋=⌊r⌋+(n−1)(⌊2r⌋−⌊r⌋)\lfloor nr\rfloor =\lfloor r\rfloor +(n-1)(\lfloor 2r\rfloor -\lfloor r\rfloor)

    が, あるnnに関して矛盾することを示そうとしましたが, イマイチうまくいきませんでした.

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    @sHlcNRe46

    2022/1/2 1:55

    a=⌊r⌋,b=r−aa=⌊r⌋ , b=r-a とおくと、aa は rr の整数部分、bb は rr の小数部分になります。

    ここで、⌊nr⌋=⌊an+bn⌋⌊nr⌋=⌊an+bn⌋ について、bn<1bn<1 となる自然数 nn まではこの数列は等差数列ですが、bn>1bn>1 となるタイミングで等差数列ではなくなります。

    そのような nn が存在することを言えればよいのではないでしょうか。十分大きな nn をとってくれば示せますね。


    抽象的な問題なので分かりにくいと思いますが、高校数学の範囲であればこれくらいで大丈夫だと思われます。

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