$r$を無理数とするとき, 数列$\{\lfloor nr\rfloor\}_{n=1, 2, \cdots}$が等差数列になり得ないことって証明できますか？

$a=⌊r⌋ , b=r-a$ とおくと、$a$ は $r$ の整数部分、$b$ は $r$ の小数部分になります。

ここで、$⌊nr⌋=⌊an+bn⌋$ について、$bn<1$ となる自然数 $n$ まではこの数列は等差数列ですが、$bn>1$ となるタイミングで等差数列ではなくなります。

そのような $n$ が存在することを言えればよいのではないでしょうか。十分大きな $n$ をとってくれば示せますね。

抽象的な問題なので分かりにくいと思いますが、高校数学の範囲であればこれくらいで大丈夫だと思われます。