ある整数nをいくつかの連続する整数の和で表すことができる組み合わせの個数をK(n)とするとK(n)はnの奇数の約数の個数に一致するのは何故ですか？証明お願いします。

面白い問題ですね。

整数$m$からはじまり、連続する$k$個の整数の和は、

$m+(m+1)+$…$+(m+k-1)=mk+\dfrac{k(k-1)}{2}$

（和の表現が一意になるには$m\geqq1$が必要、よって$m$は自然数）

これが$n$に等しくなるから、

$n=mk+\dfrac{k(k-1)}{2}=\dfrac{1}{2}k(2m+k-1)$

$l$を自然数とする。

$(1) k$が偶数のとき、$k=2l$とおくと、$n=l(2m+2l-1)$

後ろの因数は奇数なので、$n$に含まれる素因数$2$の個数は$l$に含まれるそれと一致する。

$(2) k$が奇数のとき、$k=2l-1$とおくと、$n=(2l-1)(m+l-1)$

前の因数は奇数なので、$n$に含まれる素因数$2$の個数は$m+l-1$に含まれるそれと一致する。

そこで、もし$n$が素因数$2$を$s$個含み、$n=2^sn'$（$n'$は奇数）とすれば、$(1),(2)$いずれの場合も両辺は$2^s$で割り切れ、$K(n)=K(n')$

したがって、$n$が奇数の場合について$K(n)$が$n$の約数の個数に一致すること、すなわち$n$の約数ごとに、異なる$l$と$m$の組が$1$つ決まることを示せばよい。

$(1) k$が偶数なら、$l$が決まれば$m=\dfrac{1}{2}(\dfrac{n}{l}-2l+1)$より、$m$が決まる。

$(2) k$が奇数なら、$l$が決まれば$m=\dfrac{n}{2l-1}-l+1$より、$m$が決まる。

よって、$n$が奇数のとき$K(n)$は$n$の約数の個数に一致する。

こんな感じでいかがでしょう。

なお、$(1)$では、$m\geqq1$により、$$(2m+2l-1)-l=2m+l-1\geqq{l+1}$$したがって、このケースに該当する$n$の約数$l$は、対になる約数$2m+2l-1$が$2l+1$以上になることが必要です。

ある整数を和に分割する方法の個数｛分割数｝は、モジュラー形式を用いた複雑な「公式」が知られているそうですが、まだまだ謎のようです。