環の基礎用語～準同型・部分環・イデアル～

準備

環とは，大雑把にいうと足し算とかけ算ができるような代数系です。きちんとした定義は環の定義とその具体例を参照してください。
なお，リンク先の記事では，環を表す記号として $R$ を用いていますが，この記事では $A$ を用います。どちらを使うかは好みの問題です。
今回の記事では可換環のみ考え，可換環のことを単に環と呼びます。すなわち， $x,y \in A$ に対して $xy = yx$ であることを仮定します。
環には加法の単位元と乗法の単位元がありますが，複数の環が登場するとき単位元を区別するために，環 $A$ の加法・乗法の単位元をそれぞれ $0_A , 1_A$ と書くことがあります。

準同型

写像は，2つの集合があるときに，これらの要素の間の対応関係を表す概念です。

環などの代数的な集合を考えるとき，写像の中でも特に性質の良い準同型というものを考えることが多いです。

定義

準同型の定義

$A,B$ を環とする。 $\phi : A \rightarrow B$ が次の条件を満たすとき， $\phi$ を準同型という。

任意の $x,y \in A$ に対して次の式が成り立つ。 $\phi (x+y) = \phi (x) + \phi (y)\\ \phi (xy) = \phi (x) \phi (y)$
$\phi (1_A) = 1_B$ である。

1は「演算をしてから写像」しても「写像してから演算」しても結果が同じという意味です。
大雑把に言うと「準同型によって環 $A$ の構造が $B$ に引き継がれる」「 $A$ と $B$ はほぼ同じ構造」という感じです。
2は乗法の単位元に関する条件です。加法の単位元については定義に含まれませんが，以下のように1つめの条件から $\phi (0_A) = 0_B$ が従います。

証明

$\phi (0_A) = \phi (0_A + 0_A) = \phi (0_A) + \phi (0_A)$ である。両辺から $\phi (0_A)$ を引くことで $\phi (0_A) = 0_B$ が従う。

写像に関して準同型よりも強い性質として，同型というものもあります。

同型の定義

準同型 $\phi$ が逆写像を持ち， $\phi^{-1}$ もまた準同型であるとき， $\phi$ を同型という。このとき $A$ と $B$ は同型であるといい， $A \simeq B$ と表記する。

例

$\mathbb{Z} \to \mathbb{Q}$ を包含写像とします。これは準同型になります。

例

$\phi : \mathbb{R}[x] \to \mathbb{C}$ を $x$ に $\sqrt{-1}$ を代入する写像とすると，これは準同型になります。

部分環

環の部分集合として重要なものに部分環とイデアルがあります。まずは部分環から解説します。

定義

部分環の定義

環 $A$ の部分集合 $B$ が次の条件を満たすとき， $B$ を $A$ の部分環という。また $A$ を $B$ の拡大環という。

環 $A$ の加法と乗法によって $B$ は環になる。
$B$ は $A$ の乗法の単位元を含む。

1は面倒です。つまり， $B$ が部分環であることを確認するために，分配法則などを丁寧に確かめるのは大変です。

しかし，以下のように，より弱い条件のみ確認すれば，部分環であることを保証できます。

定理

$A$ を環， $B$ を $A$ の部分集合であるとする。 $B$ が部分環であることと $B$ が次の3つの条件を満たすことと同値である。

$B$ は加法について $A$ の部分群である。すなわち以下が成り立つ。

任意の $x,y \in B$ に対して $x+y \in B$
$0_A \in B$
任意の $x\in B$ に対して $-x \in B$

任意の $x,y \in B$ に対して $xy \in B$ である。
$1_A \in B$

具体例

例：整数と有理数

有理数全体の集合 $\mathbb{Q}$ は（通常の積と和について）環をなす。整数全体の集合 $\mathbb{Z}$ は $\mathbb{Q}$ の部分環である。

実際に，上記の定理の条件1～3を満たしていることが簡単に確認できる。

ちなみに， $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ は部分環の列になっています。

例：整数の拡大

集合 $\mathbb{Z}\left[\sqrt{2}\right]$ を次のように定義する。

$\mathbb{Z} \left[\sqrt{2}\right] = \{ a+b\sqrt{2} \mid a,b \in \mathbb{Z} \}$

このとき $\mathbb{Z}$ の加法と乗法を $\mathbb{Z} \left[\sqrt{2}\right]$ に拡張する。具体的には， $+, \cdot$ を通常の $\mathbb{Z}$ の加法・乗法としたとき， $(a+b \sqrt{2}) + (c + d\sqrt{2}) = (a+c) + (b+d) \sqrt{2}\\ (a+\sqrt{2})\cdot (c+d\sqrt{2}) = (a\cdot c + 2\cdot b\cdot d) + (a\cdot d+b\cdot c)\sqrt{2}$ と定める。この演算により $\mathbb{Z} \left[\sqrt{2}\right]$ は環の構造を持つ。逆に $\mathbb{Z} \left[\sqrt{2}\right]$ の加法・乗法を $\mathbb{Z}$ に制限した（すなわち $b=0$ のときを考えた）とき， $\mathbb{Z}$ は環になる。

こうして $\mathbb{Z} \left[\sqrt{2}\right]$ は $\mathbb{Z}$ の拡大環であることがわかる。

「拡大」という言葉は，体論のときに頻繁に使う印象があります。また代数的整数論でも拡大環を考えることが多いです。

最後に準同型と部分環が両方関係する例を紹介します。

像

$\phi :A \rightarrow B$ を環の準同型とする。 $\phi$ の像 $\mathrm{Im} \; \phi$ を次のように定める： $\mathrm{Im} \; \phi = \{ y \in B \mid \text{ある}\:x \in A\: \text{が存在して}\:y = \phi (x). \}$

すると， $\mathrm{Im} \; \phi$ は $B$ の部分環である。

イデアル

次はイデアルです。部分環と同じく環の部分集合ですが，条件が異なります。

定義

イデアルの定義

環 $A$ の空でない部分集合 $I$ が次の条件を満たすとき， $I$ を $A$ のイデアルという。

任意の $x,y \in I$ に対して， $x+y \in I$ （すなわち， $I$ は加法に関して $A$ の部分群）
任意の $a \in A, x \in I$ に対して， $ax \in I$

なお，環が非可換である場合， $a$ を右から掛けるか左から掛けるかが問題になります。この場合，単にイデアルではなく「右イデアル」と「左イデアル」を区別します。ここでは詳細を省きます。

例

イデアルは定義だけ見てもわかりにくいですが，具体例を見ると一瞬でイメージがつくと思います。

非常に簡単な例

例：零イデアル

$\{ 0_A \}$ はイデアルの構造を持つ。これを零イデアルという。以下 $0$ によって表す。

例：自分自身

環 $A$ そのものもイデアルになる。また $1_A$ を含むイデアルは環 $A$ と一致する。

倍数

例：nの倍数

環として $\mathbb{Z}$ を考える。今，整数 $n$ に対して $n \mathbb{Z}$ を次のように定める。

$n \mathbb{Z} = \{ kn \mid k \in \mathbb{Z}\}$

つまり $n \mathbb{Z}$ は $n$ の倍数全体の集合である。これは $\mathbb{Z}$ のイデアルになる。

実際に条件を満たしていることを確認する。

$x,y \in n \mathbb{Z}$ を任意にとる。このとき，ある整数 $k,l$ を用いて $x = kn , y = ln$ と表される。 $x+y = kn+ln = (k+l)n$ である。よって $x+y \in n \mathbb{Z}$ となる。
$m \in \mathbb{Z} , x \in n\mathbb{Z}$ を任意にとる。このとき，ある整数 $k$ を用いて $x = kn$ と表される。 $mx = m (kn) =(mk) n$ であるため $mx \in n \mathbb{Z}$ である。よって $mx \in n \mathbb{Z}$ となる。

倍数のアイデアは多項式などにも拡張できます。

例：多項式のイデアル

$A = \mathbb{C}[x]$ （一変数多項式環）とする。

$x$ で割り切れる多項式全体，つまり $\{ xf \mid f \in \mathbb{C} [x] \}$ という集合はイデアルになる。

生成されるイデアル

例：生成されるイデアル

$a \in A$ に対して $\{ \alpha a \mid \alpha \in A \}$ は $A$ のイデアルになる。これを $\langle a \rangle$ と書く。特に $a$ によって生成されるイデアルという。

さらに $a_1,a_2, \cdots ,a_n \in A$ に対して $\{ \alpha_1 a_1 + \alpha_2 a_2 + \cdots + \alpha_n a_n \mid \alpha_1 , \alpha_2, \cdots ,\alpha_n \in A \}$ は $A$ のイデアルになる。これを $\langle a_1,a_2, \cdots ,a_n \rangle$ と書く。特に $a_1 , a_2 , \cdots , a_n$ によって生成されるイデアルという。

核

部分環と準同型に関連する例として像を紹介しましたが，同様にイデアルと準同型に関連する例として核を紹介します。

核

$\phi :A \rightarrow B$ を環の準同型とする。 $\phi$ の核 $\ker \phi$ を次のように定める。 $\ker \phi = \{ x \in A \mid \phi (x) = 0 \}$

核 $\ker \phi$ は $A$ のイデアルになる。実際に証明しよう。

$x,y \in \ker \phi$ を任意にとる。このとき $\phi (x) =0,\phi (y)=0$ である。 $\phi (x+y) = \phi (x)+\phi (y) =0$ より $x+y \in \ker \phi$ である。
$x \in \ker \phi$ ， $a \in A$ を任意にとる。このとき $\phi (ax) = \phi (a) \phi (x) = 0$ より $ax \in \ker \phi$ である。

核は極めて重要なイデアルです。覚えておきましょう。

核に関連して，一般に次が成立します。

$\phi : A \to B$ を環の準同型， $J$ を $B$ のイデアルとする。このとき $\phi^{-1} (J) = \{ x \in A \mid \phi (x) \in J \}$ はイデアルになる。

証明

$a \in A$ ， $x,y \in \phi^{-1} (J)$ を任意に取る。このとき $\phi (x) , \phi (y) \in J$ である。

$\phi$ は準同型であるため $\phi (x+y) = \phi (x) + \phi (y) \in J$ である。（イデアルは和に閉じる）

よって $x+y \in \phi^{-1} (J)$ である。

同じく $\phi$ は準同型であるため $\phi (ax) = \phi (a) \phi (x) \in J$ である。（イデアルは環の元倍に閉じる）

よって $ax \in \phi^{-1} (J)$ である。

特に核は $J = 0$ の場合だと考えることもできますね。

イデアルの和・積

イデアルから新たなイデアルを作ることができます。

$I,J$ を環 $A$ のイデアルとする。このとき $I+J = \{ x+y \mid x\in I , y \in J \}\\ IJ = \left\{ \sum_{i=1}^n x_i y_i \mid x_i \in I , y_i \in J \right\}$ はそれぞれ $A$ のイデアルである。

特に $IJ \subset I,J \subset I+J$ である。

証明

$I+J$ について

和は明らか。

積について， $a \in A$ ， $x \in I$ ， $y \in J$ とする。 $a(x+y) = ax + ay$ イデアルの定義より $ax \in I$ ， $ay \in J$ である。よって $a (x+y) \in I+J$ である。

$IJ$ について

同様

包含関係

ほとんど明らかである。

任意に $z \in IJ$ を取る。このとき，ある $x_1,\cdots , x_n \in I$ ， $y_1 , \cdots , y_n \in J$ が存在して $z = x_1 y_1 + x_2 y_2+ \cdots + x_n y_n$ である。特に $x_1 , \cdots , x_n \in A$ であるため，イデアルの定義から $x_1 y_1 , \cdots , x_ny_n \in J$ である。

よって $z \in J$ である。 $z \in I$ も同様である。（ただし $A$ が可換の場合のみできる議論であることに注意したい）こうして $IJ \subset I,J$ である。

$x \in I$ とする。 $x = x+0_A$ である。 $0_A \in J$ でもあるため $x+0_A \in I+J$ である。同様に $I,J \in I+J$ である。

例

$A = \mathbb{C} [x,y]$ ， $I = \langle x \rangle$ ， $J = \langle y \rangle$ とする。

$IJ = \langle xy \rangle$ ， $I+J = \langle x,y \rangle$ である。

イデアルの積について注意

$IJ$ の定義は $\{ xy \mid x \in I , y \in J \}$ ではありません。なぜならイデアルの定義を満たさなくなるからです。特に和について閉じなくなる場合があります。

例えば $A = \mathbb{C} [x,y,z,w]$ （四変数多項式環）とする。

$I = \langle x,y \rangle$ ， $J = \langle z,w \rangle$ とする。

$S = \{ ab \mid a \in I , b \in J \}$ はイデアルにならない。

実際， $xz , yw \in S$ であるが， $xz + yw$ は $I$ と $J$ の元の積で表すことができない。

準同型の単射性と全射性

核・像という言葉を用いて準同型が単射・全射であることを言い換えることができます。

定理

$\phi : A \to B$ を環の準同型とする。

$\phi$ が単射である $\iff$ $\ker \phi = 0$
$\phi$ が全射である $\iff$ $\mathrm{Im} \ \phi = H$

証明

$\Longrightarrow$
$x \in \ker \phi$ を任意に取る。 $\phi (x) = 0$ である。一方， $\phi (0) = 0$ であるため， $\phi (x) = \phi (0)$ を得る。
$\phi$ は単射であったため， $x = 0$ である。 $x$ を任意であったため $\ker \phi = 0$ を得る。
$\Longleftarrow$
$x,y \in A$ は $\phi (x) = \phi (y)$ を満たすとする。
移項すると $\phi (x-y) = 0$ となるため $x-y \in \ker \phi$ である。今，仮定より $\ker \phi = 0$ より $x-y=0$ ，すなわち $x=y$ である。
明らか

→ 群の準同型と準同型定理

展望

今回紹介した話題に関連するより難しい話題を簡単に説明します。

イデアルの具体例として $n$ の倍数の集合を考えました。（正の）整数において $n$ が素数が合成数かは重要な問題でしたが，イデアルについても素数に対応する，素イデアルという概念があります。
イデアルに関して，剰余環というものを考えたりします。実はこれは mod　演算の一般化になっています。
準同型の像と核について説明しました。実は準同型定理という定理によってこれらは結びつきます。

これらは様々な数学の分野で活躍する重要な概念です。

ところでイデアルは英語で ideal と書きます。英単語 ideal の発音は「アイディール」となります。海外で「イデアル」と言わないようにしましょう。