群の準同型と準同型定理 | 高校数学の美しい物語

準同型の性質

定理1

群 $G$ から群 $H$ への写像 $\phi$ が準同型写像なら，

$\phi (1_G) = 1_H$
$\phi (g^{-1}) = \phi (g)^{-1}$

ただし， $1_G$ は $G$ の単位元で， $1_H$ は $H$ の単位元です。

証明

$\phi (1_G) = \phi (1_G 1_G) = \phi (1_G) \phi (1_G)$ であるため $\phi (1_G) = 1_H$
$\phi (g^{-1}) \phi (g) = \phi (g^{-1} g) = \phi (1_G)$ ，さらに1より $\phi(g^{-1}) \phi (g) = 1_H$ であるため， $\phi (g^{-1}) = \phi (g)^{-1}$

※準同型写像 $\phi$ の定義に，上記の1,2を加える場合もありますが，結局 $\phi (g_1 g_2) = \phi (g_1) \phi (g_2)$ から導けるので加えなくても加えても同じです。

準同型の例

準同型写像の例を4つ紹介します。
自明な準同型群 GGG から群 HHH への写像として，常に 1H1_H1H​ を返すものは準同型写像になります。これを自明な準同型と言うことがあります。
群 GGG に対して，恒等写像（任意の g∈Gg \in Gg∈G に対して ϕ(g)=g\phi (g) = gϕ(g)=g となる写像）は GGG から GGG への準同型写像です。これを自明な自己準同型と言うことがあります（自分自身への準同型写像のことを自己準同型と言います）。
置換の符号Sn\mathfrak{S}_nSn​ を nnn 次対称群とします。置換の 符号 sgn:Sn→{1,−1}\mathrm{sgn} : \mathfrak{S}_n \to \{ 1, -1 \}sgn:Sn​→{1,−1} は準同型写像です。
なぜなら，任意の σ1,σ2∈Sn\sigma_1,\sigma_2\in\mathfrak{S}_nσ1​,σ2​∈Sn​ に対して
sgn(σ1)sgn(σ2)=sgn(σ1σ2)\mathrm{sgn}(\sigma_1)\mathrm{sgn}(\sigma_2)=\mathrm{sgn}(\sigma_1\sigma_2)sgn(σ1​)sgn(σ2​)=sgn(σ1​σ2​) だからです。
行列式行列式
det⁡:GLn(C)→C×\det : \mathrm{GL}_n (\mathbb{C}) \to \mathbb{C}^{\times}det:GLn​(C)→C×
は準同型写像です。ただし，
GLn(C)\mathrm{GL}_n (\mathbb{C})GLn​(C) は正則な n×nn \times nn×n の複素行列全体の集合です。これは行列の通常の掛け算について群を成します。
C×\mathbb{C}^{\times}C× は 000 でない複素数全体の集合です。これは通常の複素数の掛け算について群を成します。
なぜなら，行列式 の性質より，任意の A,B∈GLnA,B\in\mathrm{GL}_nA,B∈GLn​ に対して
det⁡(AB)=det⁡(A)det⁡(B)\det (AB) = \det (A) \det (B)det(AB)=det(A)det(B)
だからです。
商写像GGG を群，NNN をその正規部分群とします。（→正規部分群と剰余群）
GGG から剰余群 G/NG / NG/N への自然な準同型写像が存在します。
π:G→G/N\pi : G \to G/Nπ:G→G/N を π(g)=gN\pi (g) = gNπ(g)=gN と定めるとこれは準同型になります。
定理2
GGG から G/NG/NG/N への写像を π(g)=gN\pi (g) = gNπ(g)=gN で定めると，π\piπ
は全射な準同型。
証明
g1,g2∈Gg_1,g_2\in Gg1​,g2​∈G に対して，π(g1)π(g2)=g1Ng2N\pi(g_1)\pi(g_2)=g_1Ng_2Nπ(g1​)π(g2​)=g1​Ng2​N であるが，NNN の正規性より右辺は g1g2Ng_1g_2Ng1​g2​N と等しい。これは π(g1g2)\pi(g_1g_2)π(g1​g2​) である。つまり，π\piπ は準同型。
G/NG/NG/N の任意の元は，ある g∈Gg\in Gg∈G を用いて gNgNgN と表される。このとき π(g)=gN\pi (g) = gNπ(g)=gN となる。よって π\piπ は全射。

同型

2つの群の構造が同じとき，同型と言います。もう少し正確に言うと，以下です。

定義（同型写像・同型）

全単射である準同型写像を同型写像と言う。
群 $G$ ， $H$ に対して， $G$ から $H$ への同型写像があるとき， $G$ と $H$ は同型であると言う。

つまり，同型とは「1対1対応（全単射）で，変換前後どちらの群で演算しても結果が同じもの（準同型）がある」ということです。

同型の例1

$\mathbb{Z} / 5 \mathbb{Z}$ は $0,1,2,3,4 \ (\mathrm{mod} \ 5)$ からなる集合です。 $\mathbb{Z} / 5\mathbb{Z}$ には $n+m \ (\mathrm{mod} \ 5)$ となる演算 $+$ が定義され，群です。
以下の $S$ は通常の積で閉じており，群です。 $S = \{ e^{\frac{2\pi i}{5}} , e^{\frac{4\pi i}{5}} , e^{\frac{6\pi i}{5}} , e^{\frac{8\pi i}{5}} , 1 \}$
$\mathbb{Z} / 5 \mathbb{Z}$ から $S$ への写像を， $\begin{aligned} 0 \ (\mathrm{mod} \ 5) &\longleftrightarrow 1\\ 1 \ (\mathrm{mod} \ 5) &\longleftrightarrow e^{\frac{2\pi i}{5}}\\ 2 \ (\mathrm{mod} \ 5) &\longleftrightarrow e^{\frac{4\pi i}{5}}\\ 3 \ (\mathrm{mod} \ 5) &\longleftrightarrow e^{\frac{6\pi i}{5}}\\ 4 \ (\mathrm{mod} \ 5) &\longleftrightarrow e^{\frac{8\pi i}{5}}\\ \end{aligned}$ と対応させると，同型写像になります。演算の構造が同じである1対1対応ですね。

このように，一見して別の集合に見えるものの，同じ群の構造が入るとき，2つの群は同型であると言うのです。

同型と逆写像

さて，同型の定義は「全単射かつ準同型」でしたが，実は以下の2のように「準同型な逆写像がある」としてもよいです。

定理3

群 $G$ から $H$ への準同型写像 $\phi$ に対して，以下は同値。

$\phi$ は全単射。つまり $\phi$ は同型写像。
$H$ から $\phi$ への準同型写像 $\psi$ があって， $\phi \circ \psi$ ， $\psi \circ \phi$ が恒等写像になる。

同型の例2

$G = \mathfrak{A}_3$ とおく（符号が $1$ である3次の置換全体）。具体的には， $G = \{ (1) , (123) , (132) \}$
$H = \mathbb{Z} / 3 \mathbb{Z}$ とおく。つまり， $H = \{ 0 + \mathbb{Z} , 1 + \mathbb{Z} , 2 + \mathbb{Z} \}$

これらが同型であることを示す。

$\phi : G \to H$ を $\begin{aligned} &\phi ((1)) = 0 + \mathbb{Z}\\ &\phi ((123)) = 1+\mathbb{Z}\\ &\phi ((132)) = 2+\mathbb{Z} \end{aligned}$ とすると，これは準同型である。

$\psi : H \to G$ を $\begin{aligned} \psi (0+\mathbb{Z}) &= (1)\\ \psi (1+\mathbb{Z}) &= (123)\\ \psi (2+\mathbb{Z}) &= (132) \end{aligned}$ とすると，これもまた準同型である。

さらに $\psi \circ \phi$ ， $\phi \circ \psi$ は恒等写像である。

よって $G = \mathfrak{A}_3$ と $\mathbb{Z} / 3 \mathbb{Z}$ は同型である。

単射な準同型

準同型 $\phi$ が同型であるかどうかを調べたいとき， $\phi$ が全単射かわかればよいです。 $\phi$ が単射かどうかを調べるのに使える定理を紹介します。

定理4

次の2条件は同値である。

準同型 $\phi : G \to H$ が単射である。
$\phi (x) = 1_H$ であれば $x = 1_G$ である。

証明

$1 \Longrightarrow 2$
準同型の定義より $\phi (1_G) = 1_H$ である。
ここで $x \in G$ は $\phi (x) = 1_H$ を満たすとする。このとき $\phi (x) = \phi (1_G)$ である。
ここで $\phi$ の単射性より $x =1_G$ を得る。
$1 \Longleftarrow 2$
$g,g' \in G$ は $\phi (g) = \phi (g')$ を満たしていると仮定する。
両辺に $\phi (g')^{-1}$ を掛けて $\phi (g) \phi ({g'}^{-1}) = 1_H$ を得る。 $\phi$ は準同型であるため $\phi (g {g'}^{-1}) = 1_H$ となる。
ここで 2 より $g{g'}^{-1} = 1_G$ つまり $g = g'$ を得る。

核と像

準同型から定まる重要な群を紹介します。

定義

$\phi : G \to H$ を群の準同型とする。

集合 $\{ g \in G \mid \phi (g) = 1_H \}$ を $\phi$ の核といい， $\ker \phi$ と書く。

集合 $\{ \phi (g) \in H \mid g \in G \}$ を $\phi$ の像といい， $\mathrm{Im} \ \phi$ と書く。

$\mathrm{Im} \ \phi$ は $H$ の部分群になり， $\ker \phi$ は $G$ の正規部分群になります。

前者は以下の定理5の1で $G'=G$ とすればわかります。後者は定理5の2で $H'=\{1_H\}$ とすればわかります。

準同型と正規部分群

定理5

$\phi : G \to H$ を群の準同型とする。

$G'$ を $G$ の部分群とすると $\phi (G') = \{ \phi (g) \mid g \in G' \}$ は $H$ の部分群である。
$H'$ を $H$ の正規部分群とすると $\phi^{-1} (H') = \{ g \in G \mid \phi (g) \in H' \}$ は $G$ の正規部分群である。

証明

準同型の定義より $1_H = \phi (1_G) \in \phi (G')$ である。
また， $h,h' \in \phi (G')$ を任意に取るとき， $g,g' \in G'$ があって， $\phi (g) = h$ ， $\phi (g') = h'$ である。よって $hh' = \phi (g) \phi (g') = \phi (gg') \in \phi (G')$ である。最後に $h^{-1} = \phi (g)^{-1} = \phi (g^{-1}) \in \phi (G')$ である。よって $\phi (G')$ は $H$ の部分群である。
部分群であることの証明は1と似たようにできるため省く。
$g \in G$ を任意に取る。 $g' \in \phi^{-1} (H')$ とする。 $\phi (g^{-1} g' g) = \phi (g)^{-1} \phi (g') \phi (g)$ である。 $\phi (g') \in H'$ で $H'$ は $H$ の正規部分群であったため $\phi (g)^{-1} \phi (g') \phi (g) \in H'$ である。
よって $g^{-1} g' g \in \phi^{-1} H'$ を得る。

準同型の単射・全射に関して

核・像という言葉を用いて準同型が単射・全射であることを言い換えることができます。

定理6

$\phi : G \to H$ を準同型とする。

$\phi$ が単射である $\iff$ $\ker \phi = \{ 1_G \}$
$\phi$ が全射である $\iff$ $\mathrm{Im} \ \phi = H$

準同型定理

準同型に関する大定理として準同型定理があります。

準同型定理

$\phi : G \to H$ を群の準同型写像とすると，

$\mathrm{Im} \ \phi \simeq G / \ker \phi$

ただし， $\simeq$ は2つの群が同型であることを表します。

準同型定理の例

置換の符号

$\mathrm{sgn} : \mathfrak{S}_n \to \{ \pm 1 \}$ は準同型でした。

$\ker \mathrm{sgn}$ は符号が $1$ である元であるため， $\ker \mathrm{sgn} = \mathfrak{A}_n$ となる。

また準同型定理より $\mathfrak{S}_n / \mathfrak{A}_2 \simeq \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}$ である。

※ $\{ 1 , -1 \}$ には $-1 \times -1 = 1$ ， $1 \times -1 = -1$ などと積を入れると $\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}$ となる。

行列式

$\det : \mathrm{GL}_n (\mathbb{C}) \to \mathbb{C}^{\times}$ は準同型である。

$A \in \ker \det$ は $\det A = 1$ となるため $\ker \det = \mathrm{SL}_n (\mathbb{C})$ である。

準同型定理より $\mathrm{GL}_n (\mathbb{C}) / \mathrm{SL}_n (\mathbb{C}) \simeq \mathbb{C}^{\times}$ となる。

準同型定理の証明

証明

以下 $N = \ker \phi$ とおく。

$\psi : G / N \to \mathrm{Im} \ \phi$ を

$\psi (gN) = \phi (g)$ と定義する。

$\psi$ が写像になっていること（→ 補足へ）

$g N , g' N \in G/N$ は $gN = g'N$ となる元とする。これらの $\psi$ での行き先が一致することを確認する。 $\psi (gN) \psi (g'N)^{-1} = \psi (gg'^{-1}N)$ である。 $g N = g' N$ より $gg'^{-1} \in N$ であるため，右辺は $\psi (N) = 1_{\mathrm{Im} \ \phi}$ となる。よって $\psi (gN) = \psi (g'N)$ である。

準同型であること

$gN , g'N \in G/N$ を取る。 $\begin{aligned} \psi (gN g'N) &= \psi (gg'N)\\ &= \phi (gg')\\ &= \phi (g) \phi (g')\\ &= \psi (gN) \psi (g'N) \end{aligned}$ よって $\psi$ は準同型である。

$\psi$ が全単射であること

全射性は定義より明らか。
単射性を示す。
$gN \in G/N$ は $gN \in \ker \psi$ を満たすものとする。
このとき $1_{\mathrm{Im}\ \phi} = \psi (gN) = \phi (g)$ より $g \in \ker \phi = N$ である。
よって $gN = 1_{G/N}$ である。よって単射である。

写像であるかチェックする理由

剰余群の元 $gN$ は，別の $g' N$ を用いて $g'N$ と書くこともできます。

→ $\mathbb{Z} / 7 \mathbb{Z}$ の元 $1 + 7 \mathbb{Z}$ は $8 + 7\mathbb{Z}$ と書いても意味は同じですね。

写像とは，1つの元に対して1つの元を対応させる規則です。今回の $\psi$ は $gN$ の $g$ に依存して定義されているため， $\psi (g'N)$ が本当に $\psi (gN)$ と一致するのか確かめる必要があります。

「写像っぽいが写像にならない例」もあります。

例えば $\phi$ を $\phi (n + 7\mathbb{Z}) = n$ とすると， $\phi (1+7\mathbb{Z}) = 1 \neq 8 = \phi (8+7\mathbb{Z})$ となってしまい，これは写像になりません。

同型定理

準同型定理の系として部分群に関する同型定理があります。

定理

$G$ を群とする。 $H$ を $G$ の部分群， $N$ を $G$ の正規部分群とするとき次が成立する。

$(HN)/N \simeq H/(H \cap N)$

証明

$\phi : H \to (HN)/N$ を $h \mapsto hN$ と定義する。これは準同型である。（チェックしてみてください）

このとき $\ker \phi = H \cap N$ であるため， $(HN)/N \simeq H / (H \cap N)$ である。

定理

$G$ を群とする。 $H,K$ は $G$ の正規部分群で， $K$ は $H$ の正規部分群とする。

このとき次が成立する。

$(G/K)/(H/K) \simeq G/H$

証明

$\phi : G/K \to G/H$ を $\phi (gK) = gH$ と定める。これは準同型になる。（チェックしてみてください）

このとき $\ker \phi = H/K$ であるため，準同型定理より $(G/K)/(H/K) \simeq G/H$ となる。

代数学で最も重要な定理の1つは準同型定理でしょう。