部分群とその具体例

この記事では部分群の基礎を紹介します。

そもそも群とは何だ?という人は 群の定義といろいろな具体例 をご覧ください。

部分群の定義

定義

(G,)(G,\cdot) の部分集合 HHGG の演算 \cdot で群となるとき,HH部分群 という。

部分群である必要十分条件

先ほど紹介した部分群の定義はややわかりにくいので,もっとわかりやすい必要十分条件を紹介します。

GG の部分集合 HH が部分群かどうか調べるときは,HH の中で

  1. 単位元の存在
  2. 積閉性
  3. 逆元の存在

を確認すればよいです。

部分群の判定法

GG の部分集合 HH について,

HHGG の部分群     \iff 以下の1~3をすべて満たす

  1. GG の単位元 1G1_GHH の元
  2. x,yHx,y \in H なら xyHxy \in H
  3. xHx \in H なら x1Hx^{-1} \in H
証明
  • HH が部分群であるとき (1)~(3) が成立すること

HH は群を成すため単位元 1H1_H を持つ。単位元の性質より 1H1H=1H1_H \cdot 1_H = 1_H である。1HG1_H \in G でもあるため,GG の元として辺々に 1H1{1_H}^{-1} を掛けると 1H=1G1_H = 1_G となる。よって 1G=1HH1_G = 1_H \in H となり (1) を得る。

HHGG の演算 \cdot で群を成すため,x,yHx,y \in H に対して xyHx \cdot y \in H である。よって (2) が従う。

xHx \in H に対して,HH における逆元を yy とすると,xy=yx=1H=1Gxy = yx = 1_H = 1_G である。これは yyxxGG における逆元であることを意味する。よって x1=yHx^{-1} = y \in H となり (3) が従う。

  • (1)~(3) が成立するとき,HH の部分群であること

1GH1_G \in H より HH は空集合ではない。

GG の演算によって H×HHH \times H \to H(x,y)xy(x,y) \mapsto x \cdot y を定めることができる。

GG の演算は結合律を満たすため,HH は上の積について結合律を満たす。

任意の xHx \in H に対して xxGG の元と見なせば 1Gx=x1G=x1_G \cdot x = x \cdot 1_G = x であるため,1G1_GHH の単位元である。

さらに x1x^{-1}HH の元になるが,xx1=x1x=1G=1Hx x^{-1} = x^{-1} x = 1_G = 1_H であるため,x1x^{-1}HH における xx の逆元となる。

こうして HH\cdot において群をなし,GG の部分群であることがわかる。

部分群の例

自明な部分群

GG の単位元 1G1_G のみからなる集合 {1G}\{ 1_G \} は部分群になります。

これを自明な部分群といいます。

整数の成す群 Z\mathbb{Z} と部分群

Z\mathbb{Z} は和について群になります。

nn の倍数の集合 nZn \mathbb{Z} は部分群になります。

行列の群

GLn(R)\mathrm{GL}_n (\mathbb{R})n×nn \times n の行列で,detM0\det M \neq 0 となるものから成る集合でした。

通常の行列の積で GLn(R)\mathrm{GL}_n (\mathbb{R}) は群になります。

  1. det(MN)=detMdetN\det (MN) = \det M \det Nであるため,積について閉じています。

  2. 単位行列 InI_n は積についての単位元になります。

  3. detM0\det M \neq 0 より MM には逆行列があります。

SLn(R)={MGLn(R)detM=1}\mathrm{SL}_n (\mathbb{R}) = \{ M \in \mathrm{GL}_n (\mathbb{R}) \mid \det M = 1 \} とすると,これは GLn(R)\mathrm{GL}_n (\mathbb{R}) の部分群になります。

対称群/置換群

  • Sn\mathfrak{S}_nnn 個の元の置換全体の集合とします。これは群になります。これを nn 次の対称群もしくは置換群と呼びます。(S\mathfrak{S} はフラクトゥールの S です。)
    → 置換の基礎(互換・偶置換・奇置換・符号の意味)

  • Sn\mathfrak{S}_n のうち特定の元 nn を動かさない元全体のなす集合は部分群となります。これは n1n-1 次の置換群 Sn1\mathfrak{S}_{n-1} と同一視できます。

  • 置換には符号 sgn\mathrm{sgn} というものがあるのでした。Sn\mathfrak{S}_n の元のうち,符号が 11 になる元,つまり sgn (σ)=1\mathrm{sgn}\ (\sigma) = 1 となる元全体の集合は部分群を成します。これを交代群といい,An\mathfrak{A}_n と書きます(A\mathfrak{A} はフラクトゥールの A です)。偶置換全体の集合とも言えます。

2つの部分群に関する話題

部分群の共通部分

命題

H1H_1H2H_2GG の部分群であるとき,H1H2H_1 \cap H_2GG の部分群である。

証明

先ほどの必要十分条件を用いる。

  1. H1H_1H2H_2GG の部分群であるため,1GH11_G \in H_11GH21_G \in H_2 である。よって 1GH1H21_G \in H_1 \cap H_2 を得る。

  2. h,hH1H2h , h' \in H_1 \cap H_2 を任意に取る。このとき h,hH1h , h' \in H_1 であるため hhH1hh' \in H_1 である。同じく hhH2hh' \in H_2 である。よって hhH1H2hh' \in H_1 \cap H_2 を得る。

  3. 2 と同じく示すことができる。

On(R)\mathrm{O}_n (\mathbb{R})n×nn \times n の各成分が実数の直交行列の集合を表します。これを 直交群 といいます。 → 直交行列の5つの定義と性質の証明

On(R)\mathrm{O}_n (\mathbb{R})GLn(R)\mathrm{GL}_n (\mathrm{R}) の部分群となります。

特殊直交群 SOn(R)\mathrm{SO}_n (\mathbb{R})SOn(R)=On(R)SLn(R) \mathrm{SO}_n (\mathbb{R}) = \mathrm{O}_n (\mathbb{R}) \cap \mathrm{SL}_n (\mathbb{R}) と定義します。

SOn(R)\mathrm{SO}_n (\mathbb{R})GLn(R)\mathrm{GL}_n (\mathbb{R}) の部分群の共通部分であるため,SOn(R)\mathrm{SO}_n (\mathbb{R})GLn(R)\mathrm{GL}_n (\mathbb{R}) の部分群です。

部分群の積

GG の部分群 H,KH,K を考えます。

この2つの積 HKHK を集合 HK={hkhH,kK} HK = \{ hk \mid h \in H , k \in K \} と定めます。

これが群になる条件を説明します。

条件

GG の部分集合として HK=KHHK = KH であるとき,HKHKGG の部分群となる。

証明
  1. H,KH,K は部分群であるため,1GH1_G \in H1GK1_G \in K である。よって 1G1G=1GHK1_G \cdot 1_G = 1_G \in HK である。

  2. g,gHKg,g' \in HK を任意に取る。このとき h,hHh,h' \in Hk,kKk,k' \in K があって g=hk,g=hkg = hk , g'=h'k' となる。 gg=hkhk gg' = hkh'k' 条件より khHKkh' \in HK であるため hkhkhHKkHKhkh'k' \in hHKk' \subset HK である。

  3. gHKg \in HK を任意に取る。このとき hHh \in HkKk \in K があって g=hkg = hk となる。 g1=(hk)1=k1h1 g^{-1} = (hk)^{-1} = k^{-1} h^{-1} であるため g1KHg^{-1} \in KH である。KH=HKKH = HK であったため g1HKg^{-1} \in HK を得る。

いろいろな部分群を探してみましょう。