部分群とその具体例 | 高校数学の美しい物語

部分群の定義

定義

群 $(G,\cdot)$ の部分集合 $H$ が $G$ の演算 $\cdot$ で群となるとき， $H$ を部分群という。

部分群である必要十分条件

先ほど紹介した部分群の定義はややわかりにくいので，もっとわかりやすい必要十分条件を紹介します。

$G$ の部分集合 $H$ が部分群かどうか調べるときは， $H$ の中で

単位元の存在
積閉性
逆元の存在

を確認すればよいです。

部分群の判定法

群 $G$ の部分集合 $H$ について，

$H$ が $G$ の部分群 $\iff$ 以下の1～3をすべて満たす

$G$ の単位元 $1_G$ は $H$ の元
$x,y \in H$ なら $xy \in H$
$x \in H$ なら $x^{-1} \in H$

証明

$H$ が部分群であるとき (1)～(3) が成立すること

$H$ は群を成すため単位元 $1_H$ を持つ。単位元の性質より $1_H \cdot 1_H = 1_H$ である。 $1_H \in G$ でもあるため， $G$ の元として辺々に ${1_H}^{-1}$ を掛けると $1_H = 1_G$ となる。よって $1_G = 1_H \in H$ となり (1) を得る。

$H$ は $G$ の演算 $\cdot$ で群を成すため， $x,y \in H$ に対して $x \cdot y \in H$ である。よって (2) が従う。

$x \in H$ に対して， $H$ における逆元を $y$ とすると， $xy = yx = 1_H = 1_G$ である。これは $y$ が $x$ の $G$ における逆元であることを意味する。よって $x^{-1} = y \in H$ となり (3) が従う。

(1)～(3) が成立するとき， $H$ の部分群であること

$1_G \in H$ より $H$ は空集合ではない。

$G$ の演算によって $H \times H \to H$ ， $(x,y) \mapsto x \cdot y$ を定めることができる。

$G$ の演算は結合律を満たすため， $H$ は上の積について結合律を満たす。

任意の $x \in H$ に対して $x$ を $G$ の元と見なせば $1_G \cdot x = x \cdot 1_G = x$ であるため， $1_G$ は $H$ の単位元である。

さらに $x^{-1}$ は $H$ の元になるが， $x x^{-1} = x^{-1} x = 1_G = 1_H$ であるため， $x^{-1}$ は $H$ における $x$ の逆元となる。

こうして $H$ は $\cdot$ において群をなし， $G$ の部分群であることがわかる。

部分群の例

自明な部分群群 GGG の単位元 1G1_G1G​ のみからなる集合 {1G}\{ 1_G \}{1G​} は部分群になります。
これを自明な部分群といいます。
整数の成す群 Z\mathbb{Z}Z と部分群Z\mathbb{Z}Z は和について群になります。
nnn の倍数の集合 nZn \mathbb{Z}nZ は部分群になります。
行列の群GLn(R)\mathrm{GL}_n (\mathbb{R})GLn​(R) は n×nn \times nn×n の行列で，det⁡M≠0\det M \neq 0detM=0 となるものから成る集合でした。
通常の行列の積で GLn(R)\mathrm{GL}_n (\mathbb{R})GLn​(R) は群になります。
det⁡(MN)=det⁡Mdet⁡N\det (MN) = \det M \det Ndet(MN)=detMdetNであるため，積について閉じています。
単位行列 InI_nIn​ は積についての単位元になります。
det⁡M≠0\det M \neq 0detM=0 より MMM には逆行列があります。
SLn(R)={M∈GLn(R)∣det⁡M=1}\mathrm{SL}_n (\mathbb{R}) = \{ M \in \mathrm{GL}_n (\mathbb{R}) \mid \det M = 1 \}SLn​(R)={M∈GLn​(R)∣detM=1} とすると，これは GLn(R)\mathrm{GL}_n (\mathbb{R})GLn​(R) の部分群になります。
対称群/置換群Sn\mathfrak{S}_nSn​ で nnn 個の元の置換全体の集合とします。これは群になります。これを nnn 次の対称群もしくは置換群と呼びます。（S\mathfrak{S}S はフラクトゥールの S です。）

→ 置換の基礎（互換・偶置換・奇置換・符号の意味）
Sn\mathfrak{S}_nSn​ のうち特定の元 nnn を動かさない元全体のなす集合は部分群となります。これは n−1n-1n−1 次の置換群 Sn−1\mathfrak{S}_{n-1}Sn−1​ と同一視できます。
置換には符号 sgn\mathrm{sgn}sgn というものがあるのでした。Sn\mathfrak{S}_nSn​ の元のうち，符号が 111 になる元，つまり sgn (σ)=1\mathrm{sgn}\ (\sigma) = 1sgn (σ)=1 となる元全体の集合は部分群を成します。これを交代群といい，An\mathfrak{A}_nAn​ と書きます（A\mathfrak{A}A はフラクトゥールの A です）。偶置換全体の集合とも言えます。

2つの部分群に関する話題

部分群の共通部分

命題

$H_1$ と $H_2$ が $G$ の部分群であるとき， $H_1 \cap H_2$ も $G$ の部分群である。

証明

先ほどの必要十分条件を用いる。

$H_1$ ， $H_2$ は $G$ の部分群であるため， $1_G \in H_1$ ， $1_G \in H_2$ である。よって $1_G \in H_1 \cap H_2$ を得る。
$h , h' \in H_1 \cap H_2$ を任意に取る。このとき $h , h' \in H_1$ であるため $hh' \in H_1$ である。同じく $hh' \in H_2$ である。よって $hh' \in H_1 \cap H_2$ を得る。
2 と同じく示すことができる。

例

$\mathrm{O}_n (\mathbb{R})$ で $n \times n$ の各成分が実数の直交行列の集合を表します。これを直交群といいます。 → 直交行列の５つの定義と性質の証明

$\mathrm{O}_n (\mathbb{R})$ は $\mathrm{GL}_n (\mathrm{R})$ の部分群となります。

特殊直交群 $\mathrm{SO}_n (\mathbb{R})$ を $\mathrm{SO}_n (\mathbb{R}) = \mathrm{O}_n (\mathbb{R}) \cap \mathrm{SL}_n (\mathbb{R})$ と定義します。

$\mathrm{SO}_n (\mathbb{R})$ は $\mathrm{GL}_n (\mathbb{R})$ の部分群の共通部分であるため， $\mathrm{SO}_n (\mathbb{R})$ も $\mathrm{GL}_n (\mathbb{R})$ の部分群です。

部分群の積

$G$ の部分群 $H,K$ を考えます。

この2つの積 $HK$ を集合 $HK = \{ hk \mid h \in H , k \in K \}$ と定めます。

これが群になる条件を説明します。

条件

$G$ の部分集合として $HK = KH$ であるとき， $HK$ は $G$ の部分群となる。

証明

$H,K$ は部分群であるため， $1_G \in H$ ， $1_G \in K$ である。よって $1_G \cdot 1_G = 1_G \in HK$ である。
$g,g' \in HK$ を任意に取る。このとき $h,h' \in H$ ， $k,k' \in K$ があって $g = hk , g'=h'k'$ となる。 $gg' = hkh'k'$ 条件より $kh' \in HK$ であるため $hkh'k' \in hHKk' \subset HK$ である。
$g \in HK$ を任意に取る。このとき $h \in H$ ， $k \in K$ があって $g = hk$ となる。 $g^{-1} = (hk)^{-1} = k^{-1} h^{-1}$ であるため $g^{-1} \in KH$ である。 $KH = HK$ であったため $g^{-1} \in HK$ を得る。

いろいろな部分群を探してみましょう。