部分群とその具体例
この記事では部分群の基礎を紹介します。
そもそも群とは何だ?という人は 群の定義といろいろな具体例 をご覧ください。
部分群の定義
部分群の定義
群 の部分集合 が の演算 で群となるとき, を 部分群 という。
部分群である必要十分条件
部分群である必要十分条件
先ほど紹介した部分群の定義はややわかりにくいので,もっとわかりやすい必要十分条件を紹介します。
の部分集合 が部分群かどうか調べるときは, の中で
- 単位元の存在
- 積閉性
- 逆元の存在
を確認すればよいです。
群 の部分集合 について,
が の部分群 以下の1~3をすべて満たす
- の単位元 は の元
- なら
- なら
- が部分群であるとき (1)~(3) が成立すること
は群を成すため単位元 を持つ。単位元の性質より である。 でもあるため, の元として辺々に を掛けると となる。よって となり (1) を得る。
は の演算 で群を成すため, に対して である。よって (2) が従う。
に対して, における逆元を とすると, である。これは が の における逆元であることを意味する。よって となり (3) が従う。
- (1)~(3) が成立するとき, の部分群であること
より は空集合ではない。
の演算によって , を定めることができる。
の演算は結合律を満たすため, は上の積について結合律を満たす。
任意の に対して を の元と見なせば であるため, は の単位元である。
さらに は の元になるが, であるため, は における の逆元となる。
こうして は において群をなし, の部分群であることがわかる。
部分群の例
部分群の例
自明な部分群
群 の単位元 のみからなる集合 は部分群になります。
これを自明な部分群といいます。
整数の成す群 と部分群
は和について群になります。
の倍数の集合 は部分群になります。
行列の群
は の行列で, となるものから成る集合でした。
通常の行列の積で は群になります。
-
であるため,積について閉じています。
-
単位行列 は積についての単位元になります。
-
より には逆行列があります。
とすると,これは の部分群になります。
対称群/置換群
-
で 個の元の置換全体の集合とします。これは群になります。これを 次の対称群もしくは置換群と呼びます。( はフラクトゥールの S です。)
→ 置換の基礎(互換・偶置換・奇置換・符号の意味) -
のうち特定の元 を動かさない元全体のなす集合は部分群となります。これは 次の置換群 と同一視できます。
-
置換には符号 というものがあるのでした。 の元のうち,符号が になる元,つまり となる元全体の集合は部分群を成します。これを交代群といい, と書きます( はフラクトゥールの A です)。偶置換全体の集合とも言えます。
2つの部分群に関する話題
2つの部分群に関する話題
部分群の共通部分
と が の部分群であるとき, も の部分群である。
先ほどの必要十分条件を用いる。
-
, は の部分群であるため,, である。よって を得る。
-
を任意に取る。このとき であるため である。同じく である。よって を得る。
-
2 と同じく示すことができる。
例
で の各成分が実数の直交行列の集合を表します。これを 直交群 といいます。 → 直交行列の5つの定義と性質の証明
は の部分群となります。
特殊直交群 を と定義します。
は の部分群の共通部分であるため, も の部分群です。
部分群の積
の部分群 を考えます。
この2つの積 を集合 と定めます。
これが群になる条件を説明します。
の部分集合として であるとき, は の部分群となる。
-
は部分群であるため,, である。よって である。
-
を任意に取る。このとき , があって となる。 条件より であるため である。
-
を任意に取る。このとき , があって となる。 であるため である。 であったため を得る。
いろいろな部分群を探してみましょう。