群の生成元と元の位数

群の位数

整数

$\mathbb{Z}$ は群を成します。無限個の元からなるため，$|\mathbb{Z}| = \infty$ です。このように，位数は無限になることもあります。

mod n の群

$\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ は合同式の和によって群を成します。

→ 合同式(mod)の意味とよく使う６つの性質

この群は $0 \ (\mathrm{mod}\ n) , 1 \ (\mathrm{mod} \ n), \cdots , n-1 \ (\mathrm{mod} \ n)$ という $n$ 個の元から成ります。よって $|\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}| = n$ です。

対称群

$\mathfrak{S}_n$ で $n$ 個の元の置換からなる群を表すのでした（対称群）。

$n$ 個の元の置換は合計で $n!$ 個あるため，$|\mathfrak{S}_n| = n!$ です。

このうち符号が $1$ の元はちょうど半分であるため，交代群 $\mathfrak{A}_n$ の位数は $\dfrac{n!}{2}$ です。

元の位数

単位元

単位元 $1_G$ の位数は $1$ です。

対称群

$\mathfrak{S}_3$ で考えてみましょう。

互換 $(1 \ 2) \in \mathfrak{S}_3$ は位数が $2$ です。

巡回置換 $(1\ 2 \ 3)$（$1$ を $2$ に，$2$ を $3$ に，$3$ を $1$ に写す置換）の位数は $3$ です。

$\mathbb{Z} / p \mathbb{Z}$

フェルマーの小定理より，任意の整数 $n$ に対して $n^{p-1} \equiv 1 \ (\mathrm{mod} \ p)$ でした。

よって任意の $\mathbb{Z} / p \mathbb{Z}$ の元の位数は高々 $p-1$ になります。

もちろん位数が $p-1$ ではない場合もあります。例えば $6^2 \equiv 1 \ (\mathrm{mod} \ 7)$ であるため，$\mathbb{Z} / p \mathbb{Z}$ において $6$ の位数は $2$ となります。

位数の性質と原始根の応用 もご覧ください。

有限群

$\mathbb{Z} / p \mathbb{Z}$ の任意の元は有限位数を持つことがわかりました。

実は有限群の任意の元の位数は有限になります。

$\mathbb{Z}$ の部分群 $2\mathbb{Z}$ の元は，$2 n \ (n \in \mathbb{Z})$ と表されます。こうしてみると $2\mathbb{Z}$ は $2$ から「作られて」います。この一般化が生成元という概念です。

巡回群

$\mathbb{Z}$ の部分群 $2\mathbb{Z}$ は $\langle 2 \rangle$ と表すことができます。

このようにただ1つの元から生成された群を巡回群といいます。

巡回群については次の定理が知られています。

また，巡回群と位数に関して以下の定理も成立します。

$G$ の生成元

$G = \mathfrak{S}_3$ で考えてみましょう。

$\sigma = (1\ 2), \tau = (1\ 2\ 3)$ （$1$ を $2$ に，$2$ を $3$ に，$3$ を $1$ に写す置換）とおきます。

$\sigma^2 = 1$ であるため，$\langle \sigma \rangle = \{ 1, \sigma \}$ となります。

$\langle \tau \rangle = \{ 1, (1\ 2\ 3) , (1 \ 3\ 2) \}$ です。（$(1\ 3\ 2)$ は $1$ を $3$ に，$3$ を $2$ に，$2$ を $1$ に写す置換）です。

$S = \{ \sigma , \tau \}$ とおきます。

計算すると $\tau \sigma \tau^{-1} = (2\ 3)$，$\tau^2 \sigma \tau^{-2} = (1\ 3)$ であるため，$\langle S \rangle = \mathfrak{S}_3$ となります。

よって $\{ \sigma , \tau \}$ は $\mathfrak{S}_3$ の生成元となります。

このように $G$ の部分集合 $S$ が $G$ を生成することがあります。