群の剰余類とラグランジュの定理 | 高校数学の美しい物語

剰余類

定義（左剰余類）

$G$ を群， $H$ をその部分群とする。 $g \in G$ に対して $gH=\{gh\mid h\in H\}$ を $g$ の左剰余類という。

$gH$ は $G$ の部分集合です。つまり，左剰余類はもとの群の部分集合です。
「 $g$ が左にある」のが左剰余類です。
$G,H,g$ という3点セットを決めると左剰余類が決まります。

例1

整数全体の集合 $\mathbb{Z}$ は加法に関する群である。 $H=\{3の倍数全体\}$ は $G$ の部分群である。このとき，

$1$ の左剰余類は $1+H$ ，つまり $3$ で割って $1$ 余る整数全体の集合
$5$ の左剰余類は $5+H$ ，つまり $3$ で割って $2$ 余る整数全体の集合

左剰余類と右剰余類

$g$ の左剰余類とは， $gH$ のことでした。同様に， $Hg$ のことを $g$ の右剰余類と言います。

例1のように，もとの群 $G$ が可換なときは $gH=Hg$ なので左剰余類と右剰余類は一致します。このとき，単に剰余類と言います。

一方，例2のように右剰余類と左剰余類が一致しない場合もあります。

例2

$G$ を $3$ 次置換群 $\mathfrak{S}_3$ ， $H = \{ (1) , (12) \}$ とする（恒等置換と「 $1$ と $2$ の交換」）。

$(13)\in G$ の左剰余類と右剰余類は，それぞれ

$(13) H = \{ (13) , (123) \}$
$H (13) = \{ (13) , (132) \}$

となり，両者は異なる。

剰余集合

定義（左剰余集合）

$\{gH\mid g\in G\}$ のことを左剰余集合と言う。

つまり，（ $G,H$ を固定して， $g\in G$ を動かしたときの）左剰余類をすべて集めたものです。剰余類は集合なので，剰余集合は集合の集合です。
左剰余集合のことを $G/H$ と書きます。 $G/H=\{gH\mid g\in G\}$

例1の続き

整数全体の集合 $\mathbb{Z}$ は加法に関する群である。 $H=\{3の倍数全体\}$ は $G$ の部分群である。このとき， $\mathbb{Z}/H=\{H,1+H,2+H\}$ である。 $\mathbb{Z}/H$ は3つの集合からなる集合です。

左剰余集合と右剰余集合

左剰余集合と同様に $\{Hg\mid g\in G\}$ のことを右剰余集合と言います。右剰余集合を $H\backslash G$ と書くことがあります。

例1では右剰余集合と左剰余集合は一致しますが，例2では異なります。

例2の続き

$G$ を $3$ 次置換群 $\mathfrak{S}_3$ ， $H = \{ (1) , (12) \}$ とする。

左剰余集合を計算すると， $\{\{(1),(12)\},\{(13),(123)\},\{(23),(132)\}\}$
右剰余集合を計算すると， $\{\{(1),(12)\},\{(13),(132)\},\{(23),(123)\}\}$ となり，両者は異なる。

実は，例2と同じ $G$ でも， $H$ を変えると右剰余集合と左剰余集合が一致します！

例3

$G$ を $3$ 次置換群 $\mathfrak{S}_3$ ， $H$ を $3$ 次交代群 $\mathfrak{A}_3$ とする。

$\begin{aligned} G &= \{ (1) , (12) , (13) , (23), (123), (132) \}\\ H &= \{ (1) , (123) , (132) \} \end{aligned}$ である。

左剰余集合を計算すると， $\{\{(1),(123),(132)\},\{(12),(13),(23)\}\}$
右剰余集合を計算すると， $\{\{(1),(123),(132)\},\{(12),(13),(23)\}\}$ となり，両者は一致する。

それでは，いつ剰余集合が一致するのでしょうか。実は $H$ が正規部分群であるときに剰余集合が一致します。また別の記事で紹介します。

【発展】両側剰余類と両側剰余集合

$G$ とその部分群 $H,K$ があるとき， $g\in G$ に対して

$HgK=\{hgk\mid h\in H,k\in K\}$

のことを両側剰余類と言います。両側剰余類全体の集合を両側剰余集合といい， $H \backslash G / K$ と書きます。

例4（ブリュア分解）

$G = \mathrm{GL}_2 (\mathbb{C})$ とする。

$B$ を $2 \times 2$ 上三角行列全体の成す $G$ の部分群とする。

$B \backslash G / B$ がどうなるか調べる。

$g \in G$ を $g = \begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix}$ と表す。

$c = 0$ のとき， $g \in B$ であるため， $g$ は $I$ の両側剰余類に入る。
$c \neq 0$ のとき， $g$ が $J = \begin{pmatrix} 0&1\\1&0 \end{pmatrix}$ の両側剰余類に入ることを示す。 $b_1 = \begin{pmatrix}p&q\\0&r\end{pmatrix},\:b_2 =\begin{pmatrix} p' & q'\\0 & r'\end{pmatrix}$ とおくと， $b_1 J b_2 = \begin{pmatrix} qp'& pr' + qq'\\ rp' & rq' \end{pmatrix}$ である。これより $k \in \mathbb{C}$ として $\begin{alignedat}{3} p &= 1, & p' &= \dfrac{c}{k}\\ q &= \dfrac{ak}{c}, & \quad q' &= \dfrac{d}{k}\\ r &= k, &r' &= \dfrac{bc-ad}{c} \\ \end{alignedat}$ とすると $b_1 J b_2 = g$ である。

こうして $G$ の両側剰余集合は $\{ BIB , BJB \}$ となる。

実は，一般の $n$ に対して $B \backslash \mathrm{GL}_n (\mathbb{C}) / B$ は $\mathfrak{S}_n$ と全単射です。（ $B$ を $n \times n$ 上三角行列とします。）

剰余類と同値関係

x,y∈Gx,y\in Gx,y∈G とします。
x∼y  ⟺  x−1y∈Hx\sim y\iff x^{-1}y\in Hx∼y⟺x−1y∈H
によって二項関係 ∼\sim∼ を定めると，
∼\sim∼ は同値関係になります。
さらに，
左剰余類 xHxHxH は（xxx が属する）同値類になります。
左剰余集合は，この同値類に関する商集合になります。
右剰余類についても，
x∼y  ⟺  xy−1∈Hx\sim y\iff xy^{-1}\in Hx∼y⟺xy−1∈H
で定めれば同様です。
参考：同値関係といろいろな例

部分群の指数

部分群の指数とは，「 $G$ の位数が $H$ の位数の何倍か」を表す整数です。

命題と定義

$G$ を群， $H$ をその部分群とする。このとき，

任意の $g \in G$ に対して $|gH| = |Hg| = |H|$
$|G/H| = |H \backslash G|$

が成立することが知られている（これらは位数が無限でも成立する）。

$(G:H) = |G/H| = |H \backslash G|$ と定義し，これを $H$ の $G$ に対する指数という。

【参考】

証明のスケッチ

$\phi : G/H \to H \backslash G$ を $\phi (gH) = H g^{-1}$ ， $\psi : H \backslash G \to G / H$ を $\psi (Hg) = g^{-1} H$ と定義すると．これらは互いに逆写像になる。よって $\phi$ ， $\psi$ は全単射である。
$\phi : H \to gH$ を $\phi (h) = gh$ と定めるとこれは全単射である。全射性は明らか。
単射性を示す。 $\phi (h_1) = \phi (h_2)$ と仮定する。このとき $gh_1 = gh_2$ である。両辺に $g^{-1}$ を掛けて $h_1 = h_2$ を得る。
同様に $\psi (h) = hg$ とすることで $H$ と $Hg$ は全単射とわかる。

いくつか例を確認しましょう。

例2と例3の続き

$G = \mathfrak{S}_3$ とする。 $H = \{ (1) , (12) \}$ ， $K = \mathfrak{A}_3$ とする。

このとき $\begin{aligned} G / H &= \{ (1)H , (13) H , (23) H \}\\ G / K &= \{ (1)K , (12) K \} \end{aligned}$ であるため $(G:H) = 3$ ， $(G : K) = 2$ である。

元の群が無限群でも部分群を上手く取れば，指数が有限になることがあります。

例5

$G = \mathbb{Z}$ ， $H = n \mathbb{Z}$ （ $n$ の倍数からなる部分群）とすると $G / H = \mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ であるため， $|G/H| = n$ である。

つまり $(G:H) = n$ である。

ラグランジュの定理

ラグランジュの定理は，剰余集合と位数（集合の濃度）の関係についての大定理です。

定理

$H$ を $G$ の部分群とする。このとき $|G| = (G:H) |H|$ である。

※ 位数が無限でも成立する。

例

これまでの例と合わせてラグランジュの定理を使ってみましょう。

例2と例3の続き

$G = \mathfrak{S}_3$ ， $H = \{ (1) , (12) \}$ ， $K = \mathfrak{A}_3$ とする。

このとき $|G| = 6$ ， $|H| = 2$ ， $|K| = 3$ である。

ラグランジュの定理より $\begin{aligned} |G| &= (G:H) |H|\\ |G| &= (G:K) |K| \end{aligned}$ であるため， $(G:H) = 3$ ， $(G:K) = 2$ であることがわかる。

ラグランジュの定理の証明

証明

$|G| < \infty$ であるときの証明を記す。（無限のときは大変ではないため省略）

$g_1 H \neq g_2 H$ であれば $g_1 H \cap g_2 H = \emptyset$ であることを示す。

対偶を示す。

$g_1 , g_2 \in G$ に対して $g_1 H \cap g_2 H \neq \emptyset$ であるとする。

このとき，ある $h_1 , h_2 \in H$ があって， $g_1 h_1 = g_2 h_2$ となる。両辺に右から ${h_1}^{-1}$ を掛けると $g_1 = g_2 h_2 {h_1}^{-1}$ である。よって $g_1 \in g_2 H$ であるため $g_1 H \subset g_2 H$ である。

逆に $g_2 H \subset g_1 H$ でもあるため， $g_1 H = g_2 H$ である。

結論

$G/H$ の代表元を $g_1 , g_2 , \cdots , g_n$ とする。（ここで $n = (G:H)$ となる）

このとき $G = \bigcup_{i=1}^n g_i H$ である。 $i \neq j$ であれば $g_i H \cap g_j H = \emptyset$ であるため $G = \bigsqcup_{i=1}^n g_i H$ である。

※ $\bigsqcup$ は互いに共通部分を持たない和

よって $\begin{aligned} |G| &= \sum_{i=1}^n |g_i H|\\ &= \sum_{i=1}^n |H|\\ &= (G:H) |H| \end{aligned}$ を得る。

ラグランジュの定理の系

次の事実はラグランジュの定理からすぐに従います。

系

$G$ を有限群， $H$ を $G$ の部分群とする。

$H$ の位数は $G$ の約数である
$g \in G$ とすると， $g$ の位数は $G$ の位数の約数である

証明

明らか
$g$ によって生成される群 $\langle g \rangle$ の位数が $g$ の元の位数である。 $\langle g \rangle$ は $G$ の部分群であるから題意が従う。

練習問題

練習問題1

$G$ を位数 $12$ の群とする。 $G$ は位数が $5$ の元を持たないことを示せ。

証明

$G$ の元の位数は $G$ の位数の約数であるため， $G$ の元の位数としてあり得るのは $1,2,3,4,6,12$ である。よって位数 $5$ の元を持たない。

練習問題2

$G$ は位数が素数 $p$ である群とする。このとき $G$ は巡回群（1つの元によって生成される群）であることを示せ。

証明

$G$ の元 $g$ の位数は $p$ の約数であるため， $1$ か $p$ のいずれかである。

$g \neq 1_G$ とする。

$g$ の生成する群 $\langle g \rangle$ は $G$ の部分群である。ここで $g$ の位数は $p$ であるため， $| \langle g \rangle | = p$ である。

$G$ の位数も $p$ であるため， $\langle g \rangle = G$ であることがわかる。

よって $G$ は巡回群である。

フェルマーの小定理の証明

ラグランジュの定理の系を用いてフェルマーの小定理の証明をしてみましょう。

定理

$p$ は素数， $a$ は $p$ の倍数ではない正整数とすると $a^{p-1} \equiv 1 \ (\mathrm{mod} \ p)$ である。

証明

条件を満たす $a$ は $\mathbb{Z} / p \mathbb{Z}$ の $0$ ではない元であるとみなせる。

$\mathbb{Z} / p \mathbb{Z}$ の $0$ ではない元は積について群になる。この群の位数は $p-1$ である。

よって $a$ の元の位数は $p-1$ の約数である。つまり $a$ を $p-1$ 回掛けると $\mathbb{Z} / p \mathbb{Z}$ の単位元となる。

これはまさに $1 \ (\mathrm{mod} \ p)$ と一致する。

指数が素数の部分群は美しい性質を持つことが多いです。これはまた別の機会に紹介しましょう。