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tan1\tan1^\circが無理数であることの証明

以下のような数学的帰納法および加法定理を使ったのはどうでしょうか?興味本位です...


tan1\tan1^\circを有理数であるとする。ここで、任意の自然数nnを用いて、tann\tan n^\circを考える。n=kn=kのとき、tann\tan n^\circが有理数であることが成り立つと仮定する。

n=k+1n=k+1のとき、加法定理からtan(k+1)=tank+tan11tanktan1\tan (k+1)^\circ=\frac{\tan k^\circ+\tan 1^\circ}{1-\tan k^\circ\tan 1^\circ}したがってtank\tan k^\circが有理数であるならば、tan(k+1)\tan (k+1)^\circは有理数である。

すなわち、tan1\tan1^\circを有理数であるとすると、すべての自然数nnにおいてtann\tan n^\circは有理数である。

一方、n=45n=45を代入したとき、tan45=22\tan 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}は★無理数であるから矛盾。

したがってtan1\tan 1^\circは無理数である。


★ここで再び2\sqrt{2}は無理数であることの背理法を用いた証明


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回答(2件)

おそらくn=kn=kであるとき、tann\tan n^{\circ}ではなくtank\tan k^{\circ}が有理数とであると仮定しないと次のtank+1\tan k+1^{\circ}加法定理で示した時にtank\tan k^{\circ}が有理数であると言うことを言っていないから厳密に言えばアウトな気がします。若干揚げ足取りな感じがしますけど。

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発想はとても面白いのですが、残念ながらちょっとマズい点があります。

例えば、k=90k=90^\circの時はtan\tanに関する加法定理は成立しませんよね。つまり、数学的帰納法の肝である「n=kn=kの時が成立するのならば、常にn=k+1n=k+1の時も成立する」が言えていないことになり、証明が破綻してしまいます。


一方で今回の証明はn45n \leqq 45の場合が言えればいいわけですから、「すべての自然数について数学的帰納法で証明する」のではなく、「n45n \leqq 45の場合において帰納的にtann\tan nが有理数であることが言える」とでもしておけば、残りの論理の流れは問題ないと思います。


後は、2\sqrt{2}が無理数であることの証明よりは、22\frac{\sqrt{2}}{2}が無理数であることの証明を書いた方が、手間なくダイレクトに言いたいことが言える気もします(もちろん2\sqrt{2}が無理数であることが言えれば、22\frac{\sqrt{2}}{2}も無理数であることがすぐに言えるので、そんなに気にすることはないのですが……)。


惜しいミスもありますが、NICE FIGHT!! だと思います!

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