$\tan1^\circ$が無理数であることの証明

以下のような数学的帰納法および加法定理を使ったのはどうでしょうか？興味本位です...

$\tan1^\circ$を有理数であるとする。ここで、任意の自然数$n$を用いて、$\tan n^\circ$を考える。$n=k$のとき、$\tan n^\circ$が有理数であることが成り立つと仮定する。

$n=k+1$のとき、加法定理から$$\tan (k+1)^\circ=\frac{\tan k^\circ+\tan 1^\circ}{1-\tan k^\circ\tan 1^\circ}$$したがって$\tan k^\circ$が有理数であるならば、$\tan (k+1)^\circ$は有理数である。

すなわち、$\tan1^\circ$を有理数であるとすると、すべての自然数$n$において$\tan n^\circ$は有理数である。

一方、$n=45$を代入したとき、$\tan 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$は★無理数であるから矛盾。

したがって$\tan 1^\circ$は無理数である。

★ここで再び$\sqrt{2}$は無理数であることの背理法を用いた証明