三角形 OAB において

点$A$から直線$OB$に垂線を引き、足を$H$とし、

同様に$P$から直線$OB$に垂線を引き、足を$K$とする。

また、線分DOをxと置く。

$\triangle{ADH}$相似$\triangle{PDK}$,

また、$\angle{60}$の直角三角形は$1:2:\sqrt{3}$なので

$DH:AH=DK:PK$

$x+4\times\frac{1}{2}:4\times\frac{\sqrt{3}}{2}=x-3\times\frac{1}{2}:3\times\frac{\sqrt{3}}{2}$を解けばいい

$x=12$

$\triangle{ADH}$の面積は

$\frac{1}{2}\times(x+3)\times4\times\frac{\sqrt{3}}{2}$

$x$に代入すると$15\sqrt{3}$