約数の個数の評価～一橋大学2025第1問

$2025 = 3^4 \cdot 5^2$ より $d(2025)= (4+1)(2+1) = 15$ である。ゆえに $f(2025) = \dfrac{15}{45} = \dfrac{1}{3}$ である。

素数 $p$ に対して $d(p^k) = k +1$ であるため，$f(p^k) = \dfrac{k+1}{p^{\frac{k}{2}}}$ である。よって $$\dfrac{f(p^k)}{f(p^{k+1})} = \dfrac{k+1}{k+2} \sqrt{p}$$ である。

よって $f(p^k) \leqq f(p^{k+1})$ のとき，$\sqrt{p} \leqq \dfrac{k+2}{k+1}$ である。

$k \geqq 1$ のとき，$\dfrac{k+2}{k+1} = 1 + \dfrac{1}{k+1} \leqq \dfrac{3}{2}$ であるため，不等式 $p \leqq \left( \dfrac{3}{2} \right)^2 = \dfrac{9}{4}$ を得る。よって $p \geqq 3$ は不適である。

以下 $p=2$ として計算する。

$\dfrac{k+2}{k+1} \geqq \sqrt{2}$ を $k$ について解くと $k \leqq \dfrac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1} = \sqrt{2}$ である。よって不等式を満たす正の整数 $k$ は $k = 1$ のみ。

以上より求める組は $(p,k) = (2,1)$ である。

$n = {p_1}^{a_1} {p_2}^{a_2} \cdots {p_m}^{a_m}$ と素因数分解されるとする。

$$\begin{aligned} d(n) &= (a_1+1)(a_2+1)\cdots (a_m+1) \\ &= d({p_1}^{a_1}) d({p_2}^{a_2}) \cdots d({p_m}^{a_m}) \end{aligned}$$ である。よって $$f(n) = f({p_1}^{a_1}) f({p_2}^{a_2}) \cdots f({p_m}^{a_m})$$ である。

(2) より素数 $p$ が $2$ ではない場合，$f(p^k) < f(p^1) = \dfrac{2}{\sqrt{p}}$ である。

$\sqrt{3} < 2 < \sqrt{5}$ であることから，$p \geqq 5$ の場合 $f(p^1) < 1$ である。つまり $f(n)$ が最大値である $n$ について，$5$ 以上の素因数を持つことはない。また，$f(3) > 1$ より $f(n)$ が最大値となる $n$ は素因数分解に $3^1$ を含む。

$p=2$ について $f(2) = \dfrac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$，$f(4) = \dfrac{3}{2}$，$f(8) = \dfrac{4}{\sqrt{8}} = \sqrt{2}$ と計算される。よって，$f(n)$ が最大値となる $n$ は素因数分解に $2^2$ を含む。

以上より $f(n)$ が最大値を取る $n$ は $n = 2^2 \cdot 3 = 12$ で，$f(12) = \dfrac{3 \cdot 2}{\sqrt{12}} = \sqrt{3}$ である。