整数分野：練習問題一覧｜入試数学コンテスト過去問集

$p$ を素数とする。$x$ の整数係数多項式 $$f(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n$$ について，全ての係数 $a_i$ が $p$ の倍数のとき，「$f(x)$ は $p$ で割り切れる」ということにする。 これにより，整数係数多項式 $f(x),g(x)$ について，$f(x) - g(x)$ が $p$ で割り切れるとき，「$f(x)$ と $g(x)$ は $p$ を法として合同である」と定義する。 問題のなかで，$f(x), g(x)$ が整数係数多項式のとき， $$\left(f(x) + g(x)\right)^p$$ と $$\left\{f(x)\right\}^p + \left\{g(x)\right\}^p$$ は $p$ を法として合同な多項式であることを用いてもよい。

(1) $0$ 以上の整数 $m,l$ に対し， $$(x+1)^{mp^l} = a_0 + a_1 x + \cdots + a_{mp^l} x^{mp^l}$$ となるような係数 $a_i$ をとる。このとき，$a_{p^l}$ と $p$ を法として合同であるような数を $m$ のみを用いて表せ。

(2) 一般に，有限集合 $A$ に対し，$\sharp A$ は集合の元の個数を表すとする。有限集合 $G$ に対し，ある $0$ 以上の整数 $m,l$ が存在して， $\sharp G = mp^l$ を満たすとする。これを用いて $$X = \left\{Y \mid Y \subset G, \sharp Y = p^l\right\}$$ とおく。$\sharp X$ と $p$ を法として合同であるような数を $m$ のみを用いて表せ。

正の整数 $n$ に対し，$n$ 以下で $n$ と互いに素であるような正の整数の総和を $S(n)$ とする。

例えば，$S(1)=1，S(5)=1+2+3+4=10，S(6)=1+5=6$ である。

以下の問いに答えよ。

(1) $S(1024)$ を求めよ。

(2) $m=2021^{2021}$ とするとき，$\dfrac{S(m)}{m^2}$ の値を求めよ。

(3) $S(n)$ が偶数となるような $100$ 以下の正整数 $n$ の総和を求めよ。

$f(k)$ を，$m^2-mn+n^2=k$ を満たす整数解 $(m, n)$ の個数とする。

例えば，$f(0)=1，f(1)=6$ である。

(1) $f(2)$ を求めよ。

(2) $\displaystyle \sum_{i=0}^{2021} f(2^{i})$ を求めよ。

$2^n$ を十進法表記したときの最高位の数字を並べた数列を $a_n$ とする。数列の項は初項から $\{a_n\}=\{2,4,8,1,3,6,1,2,5,1,\ldots\}$ となる。

(1) $0.30102 < \log_{10} 2 <0.30103$，$0.47712 < \log_{10} 3 < 0.47713$ を用いて $2^{2021}$ を十進法表記したときの最高位の数字を求めよ。

(2) $a_n=1$ となる $1$ 以上 $2021$ 以下の正整数 $n$ の個数を求めよ。

(3) $a_n=4$ となる $1$ 以上 $2021$ 以下の正整数 $n$ の個数を求めよ。

$2^a + 5^b$ が平方数となるような正整数の組 $(a,b)$ を全て求めよ。

入力するときは次の手順に従って得られる $A,B$ を入力せよ。

1. $a$ が小さい順に解を並べる。$a$ が等しいときは， $b$ の値が小さいほうを先に書く。
2. こうして並べた解を $(a_1,b_1) , (a_2 , b_2) , \cdots$ とおく。
3. $n$ 番目の素数を $p_n$ として， $$A = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdots = 2^{a_1} \cdot 3^{a_2} \cdots p_n^{a_n} \cdots \\ B = p_1^{b_1} \cdot p_2^{b_2} \cdots = 2^{b_1} \cdot 3^{b_2} \cdots p_n^{b_n} \cdots$$ と定める。

(1) 不定方程式 $2m - 3n = 7$ の任意の非負整数解 $(m,n)$ に対して，ある非負整数 $k$ が存在して $$(m,n) = (ak + b ,ck + d)$$ と表されるとき $a,b,c,d$ の値を答えよ。

(2) 非負整数 $k$ は以下の条件を満たす。 $$\begin{cases} 3k+5 < \left( \dfrac{2k+2}{5} \right)^2\\ \left( \dfrac{2k+1}{5} \right)^2 < 3k+6 \end{cases}$$

このとき $k$ として考えられる値すべての総和を求めよ。

(3) $x$ についての方程式 $2 [x^2] - 3 [5x] = 7$ の正の実数解が取りうる値の範囲を求めよ。ただし $[x]$ は $x$ を越えない最大の整数を表す。

実数 $y$ に対して $\tan x = y$ を満たす実数 $-\dfrac{\pi}{2} < x < \dfrac{\pi}{2}$ を $\theta (y)$ によってあらわす。

例えば，$\theta (1) = \dfrac{\pi}{4}$，$\theta (0) = 0$ である。

(1) $\theta (\sqrt{3})$ を求めよ。

(2) $m,n$ を $m > n \geqq 2$ となる整数とする。このとき方程式 $$\theta \left( \dfrac{1}{m} \right) + \theta \left( \dfrac{1}{n} \right) = \dfrac{\pi}{4}$$ を満たす $(m,n)$ を求めよ。

(3) $m,n$ を $2$ 以上の整数とする。このとき方程式 $$2\theta \left( \dfrac{1}{m} \right) - \theta \left( \dfrac{1}{n} \right) = \dfrac{\pi}{4}$$ を満たす $(m,n)$ を求めよ。

(4) $x$ を有理数，$n$ を $2$ 以上の整数とする。このとき方程式 $$2\theta \left( x \right) - \theta \left( \dfrac{1}{n} \right) = \dfrac{\pi}{4}$$ を満たす $(x,n)$ に現れる $n$ を小さい順に3つ求めよ。

なお，問題を解く上で次の事実を用いてよい。

• 整数の数列 $\{x_k\} , \{y_k\}$ を $(1+\sqrt{2})^k = x_k +y_k \sqrt{2}$ により定義したとき，$x^2 - 2y^2 = \pm 1$ の整数解は $(x_k , y_k)$ によって得られる。また $(x_k ,y_k)$ に現れる数字以外に解となる数は存在しない。