図形と方程式・ベクトル分野：練習問題一覧｜入試数学コンテスト過去問集

三次元空間に $\mathrm{O} (0,0,0), \mathrm{A} (3,0,0), \mathrm{B} (0,3,0), \mathrm{C} (0,0,3)$ をとる。

(1)

$$\overrightarrow{\mathrm{OP}} = s \ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \quad (0 \leqq s \leqq 1)$$

となる点 $\mathrm{P}$ をとり, $|\overrightarrow{\mathrm{PX}}| \leqq 1$ となるような $xy$ 平面上の点 $\mathrm{X}$ をとる。

点 $\mathrm{X}$ が存在し得るすべての領域の面積を求めよ。

(2)

$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}} = s \ \overrightarrow{\mathrm{OA}} + t \ \overrightarrow{\mathrm{OB}} \quad (0 \leqq s \leqq 1, \, 0 \leqq t \leqq 1)$$

となる点 $\mathrm{Q}$ をとり, $|\overrightarrow{\mathrm{QY}}| \leqq 1$ となるような点 $\mathrm{Y}$ をとる。

点 $\mathrm{Y}$ が存在し得るすべての領域の体積を求めよ。

(3)

$$\overrightarrow{\mathrm{OR}} = s \ \overrightarrow{\mathrm{OA}} + t \ \overrightarrow{\mathrm{OB}} + u \ \overrightarrow{\mathrm{OC}} \quad (0 \leqq s \leqq 1, \, 0 \leqq t \leqq 1, \, 0 \leqq u \leqq 1)$$

となる点 $\mathrm{R}$ をとり, $|\overrightarrow{\mathrm{RZ}}| \leqq 1$ となるような点 $\mathrm{Z}$ をとる。

点 $\mathrm{Z}$ が存在し得るすべての領域の体積を求めよ。

$a,b$ は正の実数とする。$xy$ 平面上に曲線 $C_1: y=(x-a)^2$，$C_2: y = b-x^2$ がある。点 $P$ を $(a,0)$ とする。

以下の問いに答えよ。

(1) $C_1$ と $C_2$ が異なる2つの交点を持つ条件を $a,b$ の不等式により表せ。

(2) 以下 $a,b$ は(1)で求めた条件を満たすものとする。$P_1,P_2$ を $C_1$ と $C_2$　の交点とする。ただし $P_1$ を $x$ 座標の小さいほうとする。今，$b$ を固定したとき $\angle P_1 P P_2 = 90^{\circ}$ となるような $a$ が存在する。$b$ の値の範囲を求めよ。

(3) 今，$\angle P_1 P P_2 = 90^{\circ}$ を満たしているとする。$P,P_1,P_2$ を通る円を $C$ とする。$C$ と $y$ 軸の交点の座標を $b$ を用いて求めよ。

(4) 円 $C$ の中心を $Q$ とおく。$\triangle OP_2Q$ が正三角形であるとする。このとき $b$ の値を求めよ。

実数 $a,b$ に対して $$(a + \cos \alpha - \cos \beta)^2 + (b - \sin \alpha - \sin \beta)^2 \; (0 \leqq \alpha , \beta \leqq \pi)$$ の最小値を $f(a,b)$ とおく。

(1) $f(0,0)$ を求めよ。

(2) $f(a,b) = 0$ となる $(a,b)$ を $ab$ 平面に図示したとき，その領域の面積を求めよ。

(3) $f(a,b) \leqq 4$ となる $(a,b)$ を $ab$ 平面に図示したとき，その図形の周長を求めよ。