内接円に関する数オリ頻出の図形

三角形の3辺の長さを $BC=a,CA=b,AB=c$ とおく。

$b=c$ のときは二等辺三角形となり自明なので，対称性より $c <b$ の場合のみ証明すればよい。

内接円の性質より $BD=\dfrac{1}{2}(a-b+c)$

$DF=x$ とおき，$x$ を求めにいく。

$A$ から $BC$ に引いた垂線の足を $H$ とおくと，三角形 $FED$ と $FAH$ は相似なので

$x\times AH=ED\times FH$

これに，

• $ED=2r=\dfrac{4S}{a+b+c}=\dfrac{2ac\sin B}{a+b+c}$
• $AH=c\sin B$
• $FH=FB-BH=x+\dfrac{1}{2}(a-b+c)-c\cos B$

を代入すると， $x(a+b+c)=2ax+a(a-b+c)-2ac\cos B$

余弦定理を用いて $\cos B$ を消去する：

$x(-a+b+c)=-a(b-c)+(b+c)(b-c)$

右辺が因数分解できて $x=b-c$ が分かる。

よって $CF=a-x-\dfrac{1}{2}(a-b+c)=\dfrac{1}{2}(a-b+c)=BD$

傍接円と $BC$ との接点を $F'$ とおくと，$A$ が2つの円の相似の中心で $E,F'$ が対応する点なので $A,E,F'$ は同一直線上にある。よって $F'=F$，つまり $F$ は傍接円の接点。

よって内心と傍心の性質の性質2’より $CF=\dfrac{1}{2}(a-b+c)=BD$

$D,E$ はさきほどと同様。 $F$ は $M$ に関して $D$ と対称な点とする。

答えは「$P$ が直線 $FE$ 上で $E$ に関して $F$ と反対側にあるとき（A）」である。

• 条件を満たすなら（A）が成立すること
  $PE$ と $l$ の交点を $F'$ とおく。さきほどの定理より $QD=RF'$
  条件を満たすとき，$QM=RM$ なので $F'M=DM$ であり，$F'=F$
  つまり $PE$ と $l$ の交点は $M$ に関して $D$ と対称な点。

• （A）が成立するなら条件を満たすこと
  さきほどの定理より $QD=FR$ よって $QM=RM$ となり $P$ は条件を満たす。